Um produto pesa em média 10 g , com desvio padrão de 2 g . É embalado em caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500 g , com desvio padrão de 25 g . Calcule a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050 g. (Reposta: 0,0409).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: cada produto pesa em média 10 g (desvio padrão 2 g) e a caixa vazia pesa em média 500 g (desvio padrão 25 g). Colocam 50 produtos por caixa e a pergunta é: qual a probabilidade de uma caixa cheia passar de 1050 g?
Conteúdo envolvido: variáveis aleatórias normais, soma de normais (propriedades de esperança e variância), padronização e tabela da normal padrão.

Passo 2

Modelando:
  • Cada peso Xi do produto é Xisim N(mu=10,sigma=2), i.i.d., para i=1,dots,50.
  • Peso total dos 50 produtos: S=sumi=1^50Xi,
    Pela teoria da soma de normais independentes:
    E[S]=50cdot10=500,, Var(S)=50cdot2^2=200,,sigmaS=raiz200=2raiz50approx14,14,
  • Peso da caixa vazia: Ysim N(500,25). Então E[Y]=500,, Var(Y)=25^2=625,,sigmaY=25,

Passo 3

Agora a soma total T=S+Y também é normal (soma de normais independentes):
E[T]=E[S]+E[Y]=500+500=1000,,
Var(T)=Var(S)+Var(Y)=200+625=825,,sigmaT=raiz825approx28,72,

Passo 4

Queremos P(T>1050). Padronizando:
Z=T-E[T]sigmaT=T-100028,72,,
então
P(T>1050)=Pl(Z>1050-100028,72r)=P(Z>1,741),
Na tabela da normal padrão, Phi(1,741)approx0,9591, logo
P(Z>1,741)=1-Phi(1,741)approx1-0,9591=0,0409,

Resposta

0,0409

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