Um jardim retangular de
de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, qual deve ser o menor comprimento da cerca para os outros lados?
Passo 1
O problema pede o menor comprimento de cerca para proteger três lados de um jardim retangular de área
,m
, sendo que o quarto lado já está protegido por um celeiro. Isso é um problema de otimização com restrição de área, que resolveremos usando cálculo (derivada para encontrar mínimo).
Passo 2
Definimos:
= comprimento do lado paralelo ao celeiro (este lado não recebe cerca),
= largura do jardim (cada largura será cercada em ambos os lados).
A área é
A área é
O comprimento total da cerca é
Usamos a restrição de área para eliminar
.
Passo 3
Da área segue
Substituindo em
obtemos a função de uma variável:
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Então
O valor mínimo de
é
Resposta
O menor comprimento de cerca necessário é
metros.