Um jardim retangular de 98 \mathrm{~m}^{2} de área deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, qual deve ser o menor comprimento da cerca para os outros lados?

Passo 1

O problema pede o menor comprimento de cerca para proteger três lados de um jardim retangular de área 98,m ^2, sendo que o quarto lado já está protegido por um celeiro. Isso é um problema de otimização com restrição de área, que resolveremos usando cálculo (derivada para encontrar mínimo).

Passo 2

Definimos: L = comprimento do lado paralelo ao celeiro (este lado não recebe cerca), W = largura do jardim (cada largura será cercada em ambos os lados).
A área é
L \cdot W = 98.
O comprimento total da cerca é
F = 2W + L.
Usamos a restrição de área para eliminar L.

Passo 3

Da área segue
L = \frac{98}{W}.
Substituindo em F obtemos a função de uma variável:
F(W) = 2W + \frac{98}{W}.
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
F'(W) = 2 - \frac{98}{W^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad W^2 = 49 \quad\Longrightarrow\quad W = 7\\ (\text{m}).

Passo 4

Então
L = \frac{98}{W} = \frac{98}{7} = 14\\ (\text{m}).
O valor mínimo de F é
F_{\min} = 2\cdot7 + 14 = 28\\ (\text{m}).

Resposta

O menor comprimento de cerca necessário é 28 metros.

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