O custo total diário de produção de um certo produto x é 13 x^2+8 x+8, e o preço por produto é 16-13 x. Qual deve ser a produção diária para obter lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá o custo total diário de produção
C(x)=tfrac13x^2+8x+8
e o preço unitário de venda
p(x)=16-tfrac13x
Vamos precisar calcular a receita, definir o lucro P(x) como receita menos custo e então encontrar o valor de x que maximiza P(x).

Passo 2

A receita diária é o preço vezes a quantidade vendida, isto é
R(x)=xcdot p(x)=xl(16-tfrac13xr)=16x-tfrac13x^2
Logo o lucro diário é
P(x)=R(x)-C(x) = l(16x-tfrac13x^2r) - l(tfrac13x^2+8x+8r) = -tfrac23x^2+8x-8

Passo 3

Para maximizar P(x) observamos que é uma parábola côncava para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Podemos usar a condição de primeira derivada nula:
P'(x)=ddxl(-tfrac23x^2+8x-8r) =-tfrac43x+8=0
Resolvendo
-tfrac43x+8=0 Longrightarrow tfrac43x=8 Longrightarrow x=6

Passo 4

Verificando a concavidade, como o coeficiente de x^2 em P(x) é -tfrac23<0, esse ponto realmente é um máximo.

Resposta

A produção diária que maximiza o lucro é de 6 unidades.

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