Encontre as dimensões do cone circular reto de volume mínimo
que pode ser circunscrito sobre uma esfera de raio 4 m .
Passo 1
O enunciado pede as dimensões (raio da base
e altura
) de um cone circular reto que circunscreve uma esfera de raio
m e tem volume mínimo. Vamos usar duas ideias principais:
- A esfera inscrita no cone toca a base e a geratriz, o que na seção meridional (um triângulo) dá a relação do raio inscrito.
- O volume do cone é dado por
. Faremos otimização em função de uma única variável.
Passo 2
Na seção meridional o cone vira um triângulo de base
, altura
e lados iguais de comprimento
. O raio inscrito desse triângulo é
Como
, igualamos
Passo 3
Isolando a raiz e elevando ao quadrado, chega-se a uma relação entre
e
. O resultado simplificado é
válido para
(para manter
).
Passo 4
Substituímos
em
Para minimizar, definimos
calculamos
e igualamos a zero, obtendo
.
Passo 5
Da condição
vem
Substituindo em
dá
Resposta
Raio da base:
m
Altura: m
Altura: