Encontre as dimensões do cone circular reto de volume mínimo V que pode ser circunscrito sobre uma esfera de raio 4 m .

Passo 1

O enunciado pede as dimensões (raio da base R e altura H) de um cone circular reto que circunscreve uma esfera de raio r=4 m e tem volume mínimo. Vamos usar duas ideias principais:
  1. A esfera inscrita no cone toca a base e a geratriz, o que na seção meridional (um triângulo) dá a relação do raio inscrito.
  2. O volume do cone é dado por V=pi3R^2H. Faremos otimização em função de uma única variável.

Passo 2

Na seção meridional o cone vira um triângulo de base 2R, altura H e lados iguais de comprimento raizR^2+H^2. O raio inscrito desse triângulo é
r ;=;áreasemiperímetro ;=;R,HR+raizR^2+H^2 áí
Como r=4, igualamos
4 ;=;R,HR+raizR^2+H^2 Longrightarrow R,H = 4l(R+raizR^2+H^2r)

Passo 3

Isolando a raiz e elevando ao quadrado, chega-se a uma relação entre H e R. O resultado simplificado é
H ;=;8,R^2R^2 - 16,
válido para R>4 (para manter H>0).

Passo 4

Substituímos H(R) em
V(R)=pi3,R^2H ;=;8pi,R^43l(R^2-16r)
Para minimizar, definimos
f(R)=R^4R^2-16,
calculamos
f'(R) =2R^3,(R^2-32)(R^2-16)^2
e igualamos a zero, obtendo R^2-32=0.

Passo 5

Da condição R^2=32 vem
R=4raiz2
Substituindo em H=8R^2R^2-16
H=8cdot3232-16=16

Resposta

Raio da base: R=4raiz2 m
Altura: H=16 m

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