a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série s=sumn=1^infty 1n^2.
b) Melhore esta estimativa usando a desigualdade
sn+integraln+1^infty f(x) d x <= s <= sn+integraln^infty f(x) d x
c) Encontre um valor de n que garanta que o erro de aproximação Rn=|s-sn| seja menor que 0,001 .

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos estimar a série
s=sumn=1^infty1n^2
(a) usando a soma dos 10 primeiros termos,
(b) melhorando a estimativa com a desigualdade do teste de integral,
(c) encontrando um n que garanta erro Rn=|s-sn|<0,001.

Passo 2

Para (a) calculamos
s10=sumn=1^101n^2 =1+12^2+13^2+cdots+110^2 approx 1,5497679
Logo, como estimativa inicial,
sapprox s10approx 1,54977

Passo 3

Para (b) notamos que f(x)=tfrac1x^2 é positiva e decrescente em [1,infty). A desigualdade do teste de integral dá
sn + integraln+1^inftyf(x),dx <= s <= sn + integraln^inftyf(x),dx
Calculamos
integraln^inftydxx^2 =l[-1xr]n^infty =1n,
integraln+1^inftydxx^2 =1n+1
Para n=10 segue
s10+111<= s<= s10+110,
ou seja
1,5497679 + 0,090909 <= s <= 1,5497679 + 0,1,
logo
1,640676 <= s <= 1,649768

Passo 4

Para (c) o resto satisfaz
Rn=s - sn <= integraln^inftydxx^2=1n
Queremos tfrac1n<0,001, logo n>1000.
Basta escolher n>=1001 para garantir Rn<0,001.

Resposta

a) s10approx 1,54977.
b) 1,640676<= s<= 1,649768.
c) Qualquer n>=1001 garante Rn<0,001.

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