O custo total de produção é dado por C(x, y)=1000+5 x+3 y+0.02 x^{2}+0.01 x y :
(a) Encontre o custo marginal em relação a x quando x=100 e y=150
(b) Interprete o significado econômico da derivada cruzada \frac{\partial^{2} C}{\partial x \partial y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo total
C(x,y)=1000 + 5x + 3y + 0,02x^{2} + 0,01\,x\,y
e pede (a) o custo marginal em relação a x quando (x,y)=(100,150) e (b) a interpretação econômica da derivada cruzada \frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y}. Para resolver vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de C em relação a x:
\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1000 + 5x + 3y + 0,02x^{2} + 0,01\,x\,y\bigr) = 5 + 2\cdot0,02\,x + 0,01\,y = 5 + 0,04x + 0,01y.

Passo 3

Avaliamo essa expressão em (x,y)=(100,150):
\frac{\partial C}{\partial x}(100,150) = 5 + 0,04\cdot100 + 0,01\cdot150 = 5 + 4 + 1,5 = 10,5.
Isso significa que, mantendo y=150 fixo, produzir mais uma unidade de x aumenta o custo em 10,5 (unidades monetárias).

Passo 4

Agora a derivada cruzada é
\frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(5 + 0,04x + 0,01y\bigr) = 0,01.

Passo 5

Economicamente, \frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y}=0,01 indica que, para cada unidade adicional de y, o custo marginal de x sobe em 0,01. Em outras palavras, produzir uma unidade extra de y encarece o custo de produzir x em 0,01.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial C}{\partial x}(100,150)=10,5.
(b) \displaystyle\frac{\partial^{2}C}{\partial x\partial y}=0,01, que significa que cada unidade adicional de y eleva o custo marginal de x em 0,01.

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