Para a função utilidade U(x, y)=x^{0.6} y^{0.4} :
(a) Mostre que a elasticidade de substituição é constante
(b) Verifique que sob a transformação u=\ln x, v=\ln y, a função satisfaz \Delta U(u, v)=0

Passo 1

O enunciado dá a função utilidade de Cobb–Douglas
U(x,y)=x^{0.6}y^{0.4}
e pede:
(a) mostrar que a elasticidade de substituição é constante;
(b) sob a mudança de variáveis
u=\ln x,\quad v=\ln y,
verificar que a função transformada satisfaz
\Delta U(u,v)=0.
Para isso vamos usar (i) a definição de elasticidade de substituição via MRS e (ii) cálculo de derivadas parciais segundas na nova variável.

Passo 2

Primeiro calculamos as utilidades marginais e a taxa marginal de substituição (MRS).
U_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{0.6}y^{0.4}\bigr)=0.6\,x^{-0.4}y^{0.4},
U_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{0.6}y^{0.4}\bigr)=0.4\,x^{0.6}y^{-0.6}.
Logo
\mathrm{MRS}=\frac{U_x}{U_y} =\frac{0.6\,x^{-0.4}y^{0.4}}{0.4\,x^{0.6}y^{-0.6}} =\frac{0.6}{0.4}\;\frac{y}{x} =1{,}5\;\frac{y}{x}.

Passo 3

A elasticidade de substituição \sigma é definida por
\sigma =\frac{\mathrm{d}\ln(y/x)}{\mathrm{d}\ln(\mathrm{MRS})}.
Como
\ln(\mathrm{MRS})=\ln(1{,}5)+\ln\!\bigl(y/x\bigr),
temos
\frac{\mathrm{d}\ln(y/x)}{\mathrm{d}\ln(\mathrm{MRS})} =1.
Portanto a elasticidade de substituição é constante e vale
\sigma=1.

Passo 4

Para o item (b) definimos a função em (u,v) por
V(u,v)=\ln U\bigl(e^u,e^v\bigr) =\ln\bigl(e^{0.6u}e^{0.4v}\bigr) =0.6\,u+0.4\,v.
Note que V é afim em u,v, então as segundas derivadas parciais são
V_{uu}=0,\quad V_{vv}=0,
e assim o laplaciano fica
\Delta V=V_{uu}+V_{vv}=0+0=0.

Resposta

(a) A elasticidade de substituição é \sigma=1.
(b) Sob u=\ln x,\\ v=\ln y a função transformada V(u,v)=0.6u+0.4v satisfaz \Delta V=0.

Exercícios relacionados