Para a função utilidade
:
(a) Mostre que a elasticidade de substituição é constante
(b) Verifique que sob a transformação
, a função satisfaz
(a) Mostre que a elasticidade de substituição é constante
(b) Verifique que sob a transformação
Passo 1
O enunciado dá a função utilidade de Cobb–Douglas
e pede:
(a) mostrar que a elasticidade de substituição é constante;
(b) sob a mudança de variáveis
(a) mostrar que a elasticidade de substituição é constante;
(b) sob a mudança de variáveis
verificar que a função transformada satisfaz
Para isso vamos usar (i) a definição de elasticidade de substituição via MRS e (ii) cálculo de derivadas parciais segundas na nova variável.
Passo 2
Primeiro calculamos as utilidades marginais e a taxa marginal de substituição (MRS).
Logo
Passo 3
A elasticidade de substituição
é definida por
Como
temos
Portanto a elasticidade de substituição é constante e vale
Passo 4
Para o item (b) definimos a função em
por
Note que
é afim em
, então as segundas derivadas parciais são
e assim o laplaciano fica
Resposta
(a) A elasticidade de substituição é
.
(b) Sob a função transformada
satisfaz
.
(b) Sob