Dada f(x, y)=\sqrt{x y}, encontre a aproximação linear no ponto (4,9) e use-a para aproximar f(4.1,8.95)

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=\sqrt{xy} e pede a aproximação linear de f no ponto (4,9) para depois estimar f(4.1,8.95). Para isso precisamos de f(4,9) e das derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} avaliadas em (4,9).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais gerais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac12\sqrt{\frac{y}{x}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac12\sqrt{\frac{x}{y}}.
Em (4,9) isso dá
f(4,9)=\sqrt{4\cdot9}=6, \quad \frac{\partial f}{\partial x}(4,9)=\frac12\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac34, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(4,9)=\frac12\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac13.

Passo 3

A linearização de f em (4,9) é
L(x,y) = f(4,9) + \frac{\partial f}{\partial x}(4,9)\,(x-4) + \frac{\partial f}{\partial y}(4,9)\,(y-9).
Substituindo os valores encontrados,
L(x,y)=6+\frac34(x-4)+\frac13(y-9).

Passo 4

Para (x,y)=(4.1,8.95) temos \Delta x=0.1 e \Delta y=-0.05. Logo,
L(4.1,8.95) =6+\frac34\cdot0.1+\frac13\cdot(-0.05) =6+0.075-0.0166667 \approx6.05833.

Resposta

L(x,y)=6+\tfrac34(x-4)+\tfrac13(y-9)
f(4.1,8.95)\approx6.05833

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