Um estudo de eficiência revela que um operário que chega para trabalhar às 8 h produziu P(t)=-t^{3}+6 t^{2}+15 t unidades. Em que instante a produtividade do operário é máxima?

Passo 1

O enunciado diz que a produção do operário, a partir das 8 h, é dada por
P(t) = -t^{3} + 6t^{2} + 15t,
onde t é o número de horas após as 8 h. Queremos saber em que instante t a produtividade é máxima. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e testar onde P'(t)=0 e P''(t)<0.

Passo 2

Calculamos a derivada de primeira ordem para encontrar os pontos críticos:
P'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t^{3} + 6t^{2} + 15t\bigr) = -3t^{2} + 12t + 15.

Passo 3

Igualamos P'(t) a zero para achar as raízes:
-3t^{2} + 12t + 15 = 0.
Dividindo por -3,
t^{2} - 4t - 5 = 0.
As raízes dessa equação são
t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.
Assim,
t = 5 \quad\text{ou}\quad t = -1.

Passo 4

Como t representa horas depois das 8 h, só faz sentido t\ge0. Descartamos t=-1 e ficamos com t=5. Para garantir que é máximo, calculamos a segunda derivada:
P''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-3t^{2} + 12t + 15\bigr) = -6t + 12.
Em t=5,
P''(5) = -6\cdot5 + 12 = -30 + 12 = -18 < 0,
confirmando que é um ponto de máximo.

Resposta

A produtividade do operário é máxima 5 horas depois das 8 h, isto é, às 13 h.

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