A projeção revela que daqui a t anos a população do bairro Canaã será P(t)=-t^{3}+9 t^{2}+48 t+50 \mathrm{mil} habitantes. Em que instante a taxa de crescimento da população será máxima?

Passo 1

O enunciado dá a projeção da população em milhares de habitantes como
P(t) = -t^{3} + 9\,t^{2} + 48\,t + 50
e pede o instante t em que a taxa de crescimento da população, isto é P'(t), atinge seu valor máximo. Para resolver, vamos usar derivadas: primeiro obtemos P'(t) e P''(t), depois identificamos o ponto em que P'(t) tem máximo.

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas de P:
P'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t^3+9t^2+48t+50\bigr) = -3t^2 + 18t + 48,
P''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-3t^2+18t+48\bigr) = -6t + 18.

Passo 3

Para que P'(t) seja máximo, sua derivada (que é P''(t)) deve mudar de positiva para negativa, ou seja P''(t)=0 no ponto de máximo. Logo,
-6t + 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.
Testando o sinal de P'' antes e depois de t=3, vemos que para t<3 temos P''(t)>0 (crescimento de P') e para t>3, P''(t)<0 (decréscimo de P'), confirmando que em t=3 ocorre o máximo de P'(t).

Resposta

Em t = 3 anos a taxa de crescimento da população será máxima.

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