8^a Questão: Resolva as equações abaixo:
(b) d xd t=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
dxdt=x^2.
Esse tipo de equação é do tipo separável, ou seja, podemos agrupar as variáveis x de um lado e t do outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dxdt=x^2 Longrightarrow dxx^2=dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dxx^2 = integral dt
Como integral x^-2dx=-x^-1+C, obtemos
-,1x = t + C

Passo 4

Isolamos x:
-,1x=t+C Longrightarrow 1x=-t - C = C1-t,
onde C1=-C é constante arbitrária. Logo
x(t)=1C1-t

Passo 5

Observamos ainda que a função constante x(t)=0 também satisfaz dxdt=0=x^2, sendo uma solução singular.

Resposta

A família de soluções gerais é
x(t)=1C - t, CinR,
além da solução trivial
x(t)=0

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