(d) ( ) Se u, v in R^2, ambos não-nulos, e se não existe escalar alpha in R tal que v=alpha u, então u, v é base de R^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores u,vinR^2, ambos não nulos, e que não existe escalar alphainR tal que v=alpha u. A pergunta é se isso garante que u,v seja uma base de R^2. O conteúdo envolvido é dimensão de espaço vetorial, independência linear e base.

Passo 2

Lembrando que, em qualquer espaço vetorial de dimensão 2, um conjunto de exatamente dois vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes e gerar todo o espaço.

Passo 3

Mostrar independência linear de u,v. Suponha por absurdo que existam escalares a,binR, não ambos nulos, tais que
a,u + b,v = 0
Se aneq0, então
u = -ba,v,
o que implica que u é múltiplo de v e, invertendo o raciocínio, que v seria múltiplo de u. Isso contraria a hipótese de não-colinearidade. Logo, não pode acontecer aneq0. Resta a=0. Substituindo em a,u + b,v = 0 vem b,v=0, e como vneq0, segue b=0. Portanto a=b=0 é a única solução, ou seja, u e v são linearmente independentes.

Passo 4

Como R^2 é de dimensão 2, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes gera R^2. Então u,v tem dimensão de geração igual a 2 e é uma base.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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