(d) ( ) Se
, ambos não-nulos, e se não existe escalar
tal que
, então
é base de
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois vetores
, ambos não nulos, e que não existe escalar
tal que
. A pergunta é se isso garante que
seja uma base de
. O conteúdo envolvido é dimensão de espaço vetorial, independência linear e base.
Passo 2
Lembrando que, em qualquer espaço vetorial de dimensão 2, um conjunto de exatamente dois vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes e gerar todo o espaço.
Passo 3
Mostrar independência linear de
. Suponha por absurdo que existam escalares
, não ambos nulos, tais que
Se
, então
o que implica que
é múltiplo de
e, invertendo o raciocínio, que
seria múltiplo de
. Isso contraria a hipótese de não-colinearidade. Logo, não pode acontecer
. Resta
. Substituindo em
vem
, e como
, segue
. Portanto
é a única solução, ou seja,
e
são linearmente independentes.
Passo 4
Como
é de dimensão 2, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes gera
. Então
tem dimensão de geração igual a 2 e é uma base.
Resposta
A afirmação é verdadeira.