Seja V=M2 times 1(R), o espaço vetorial das matrizes X de ordem 2 times 1 (espaço-coluna) com entradas reais, e seja M uma matriz quadrada 2 times 2 qualquer com entradas em R tal que M=M^T. Se X e Y são vetores-coluna então, fixada a matriz M, X^T M Y é uma matriz 1 times 1, que identificamos com um número real. A função varphi: V times V R definida por varphi(X, Y)=X^T M Y não é um produto interno. Qual condição da definição de produto interno falha ? Dê um exemplo numérico que evidencie que tal condição falha.

Passo 1

O enunciado define em V=M2times1(R) a aplicação bilinear
varphi(X,Y)=X^T M Y
onde M é uma matriz simétrica 2times2. A questão pede identificar qual das condições de produto interno falha e dar um exemplo numérico que mostre isso.

Passo 2

As três condições para varphi ser um produto interno em um espaço real são:
1. Bilinearidade em cada argumento (já garantida pela definição).
2. Simetria:
varphi(X,Y)=varphi(Y,X),,
o que ocorre sempre que M=M^T.
3. Positividade (definitude positiva): para todo Xneq0,
varphi(X,X)>0 e varphi(X,X)=0iff X=0

Passo 3

Como M é apenas simétrica, mas não necessariamente positiva definida, a condição de positividade pode falhar: existem vetores não-nulos X tais que
varphi(X,X)=X^T M X<=0,

Passo 4

Exemplo numérico. Seja
M=1 & 00 & -1, X=01
Então
varphi(X,X) =X^T M X =(0,1)1 & 00 & -101 =-1<0,
embora Xneq0. Portanto falha a condição de positividade.

Resposta

A condição que falha é a da positividade (definitude positiva): não vale varphi(X,X)>0 para todo Xneq0.

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