Seja
, o espaço vetorial das matrizes
de ordem
(espaço-coluna) com entradas reais, e seja
uma matriz quadrada
qualquer com entradas em
tal que
. Se
e
são vetores-coluna então, fixada a matriz
é uma matriz
, que identificamos com um número real. A função
definida por
não é um produto interno. Qual condição da definição de produto interno falha ? Dê um exemplo numérico que evidencie que tal condição falha.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação bilinear
onde
é uma matriz simétrica
. A questão pede identificar qual das condições de produto interno falha e dar um exemplo numérico que mostre isso.
Passo 2
As três condições para
ser um produto interno em um espaço real são:
. Bilinearidade em cada argumento (já garantida pela definição).
. Simetria:
o que ocorre sempre que
.
. Positividade (definitude positiva): para todo
,
Passo 3
Como
é apenas simétrica, mas não necessariamente positiva definida, a condição de positividade pode falhar: existem vetores não-nulos
tais que
Passo 4
Exemplo numérico. Seja
Então
embora
. Portanto falha a condição de positividade.
Resposta
A condição que falha é a da positividade (definitude positiva): não vale
para todo
.