(i) Considere o
com as operações
e
. Veja que
com essas operações não é um espaço vetorial dando um exemplo onde falha uma das propriedades de espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação escalar dada por
Para que isso seja um espaço vetorial, entre outros axiomas precisa valer a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
Passo 2
Vamos comparar os dois lados dessa igualdade num caso geral. Seja
.
enquanto
Em geral
, logo o axioma falha.
Passo 3
Escolhemos
e
.
Como
, a propriedade
não se verifica.