(i) Considere o R^2 com as operações (x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e alpha(x, y)=(alpha^3 x, alpha^3 y), forall alpha in R. Veja que R^2 com essas operações não é um espaço vetorial dando um exemplo onde falha uma das propriedades de espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a soma usual
(x,y)+(x',y')=(x+x',,y+y')
e a multiplicação escalar dada por
alpha,(x,y)=(alpha^3 x,;alpha^3 y)
Para que isso seja um espaço vetorial, entre outros axiomas precisa valer a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares:
(alpha+beta),v ;=;alpha,v;+;beta,vforall alpha,betainR,;vinR^2

Passo 2

Vamos comparar os dois lados dessa igualdade num caso geral. Seja v=(x,y).
(alpha+beta),v = l((alpha+beta)^3 x,;(alpha+beta)^3 yr),
enquanto
alpha,v+beta,v = (alpha^3 x,alpha^3 y)+(beta^3 x,beta^3 y) =l((alpha^3+beta^3)x,;(alpha^3+beta^3)yr)
Em geral (alpha+beta)^3neq alpha^3+beta^3, logo o axioma falha.

Passo 3

Escolhemos alpha=beta=1 e v=(1,0).
(1+1),v = (2^3cdot1,;2^3cdot0) = (8,0),
1cdot v + 1cdot v = (1^3cdot1,1^3cdot0)+(1^3cdot1,1^3cdot0) = (1,0)+(1,0) = (2,0)
Como (8,0)neq(2,0), a propriedade
(alpha+beta),v = alpha,v + beta,v não se verifica.

Resposta

R^2 com essas operações não é um espaço vetorial porque falha a distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares.

Exercícios relacionados