U & =(x, y, z, t) in R^4: x-z=0 e y-t=0 W & =(x, y, z, t) in R^4: x+y=0 e z-t=0
subespaços do R^4. Determine a dimensão e uma base para U e para W.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços U e W de R^4 por duas equações lineares cada. O conteúdo é álgebra linear, em particular determinação de base e dimensão de subespaços dados por sistemas lineares. Para resolver, vamos isolar variáveis, escrever um vetor genérico em função de parâmetros livres, extrair geradores e contar quantos são LI (linearmente independentes).

Passo 2

Para U temos as equações
x - z = 0, y - t = 0
Dessas decorre
z = x, t = y,
portanto um vetor genérico de U é
(x,y,z,t) = (x,y,x,y) = x,(1,0,1,0) + y,(0,1,0,1)
Logo (1,0,1,0),,(0,1,0,1) gera U e é LI, de onde
dim(U) = 2

Passo 3

Para W as equações são
x + y = 0, z - t = 0
Dessas segue
y = -x, z = t,
logo um vetor genérico de W é
(x,y,z,t) = (x,-x,t,t) = x,(1,-1,0,0) + t,(0,0,1,1)
Portanto (1,-1,0,0),,(0,0,1,1) gera W e é LI, de onde
dim(W) = 2

Resposta

dim(U)=2, base de U: (1,0,1,0),,(0,1,0,1).
dim(W)=2, base de W: (1,-1,0,0),,(0,0,1,1).

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