W=(cc x & y z & 0 ): y=-x e z in R
é um subespaço de M2(R). Dê uma base para W e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define
como um subespaço de . Vamos usar a ideia de parametrizar o elemento geral de por variáveis livres, descobrir explicitamente dois vetores que geram todos os elementos de e verificar que eles são linearmente independentes.

Passo 2

Um elemento genérico de satisfaz . Então todo
pode ser escrito como
Aqui e são parâmetros em .

Passo 3

Observe que
Isso mostra que qualquer elemento de é combinação linear de

Passo 4

Para ver que E1,E2 é linearmente independente, consideramos
alpha E1 + beta E2 = 0 Longrightarrow alpha1 & -10 & 0 + beta0 & 01 & 0 =0 & 00 & 0
Isso implica alpha=0 (pela entrada (1,1)) e beta=0 (pela entrada (2,1)). Logo são independentes e, como geram todo W, formam uma base.

Resposta

Uma base de W é
1 & -10 & 0,; 0 & 01 & 0 ,
e dim W = 2.

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