(D) Uma barra isolante e fina de comprimento
é posicionada sobre o eixo
de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em
. Ela possui uma carga total
uniformemente distribuída sobre seu comprimento.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto
sobre o eixo
, localizado a uma distância
da origem.
(b) Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total
uniformemente distribuída sobre seu comprimento, é posicionada sobre o eixo
com suas extremidades em
. Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a primeira barra.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto
(b) Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total
Passo 1
Beleza, tamo com uma barra fininha de comprimento
toda carregada com carga total
(distribuição uniforme). Ela fica em
.
(a) Primeiro a gente quer o campo elétrico num ponto também no eixo
, mas com coordenada
.
(b) Depois mete uma segunda barra igualzinha (mesmos , mesma carga
) em
(com
) e a gente calcula a força que a primeira barra faz na segunda.
(a) Primeiro a gente quer o campo elétrico num ponto
(b) Depois mete uma segunda barra igualzinha (mesmos
Isso é eletrostática de distribuição linear: densidade
, usamos a lei de Coulomb e integramos.
Passo 2
Resolvendo (a):
- A densidade linear é
- Em cada pedacinho
na posição da barra, tem
e como
o campo aponta pra direita (
).
3) Integramos de até
:
3) Integramos de
- Substituindo
e juntando frações dá
Passo 3
Resolvendo (b):
- Cada pedacinho
da segunda barra (em ) tem carga e sofre , onde é o campo da primeira barra naquele ponto. - Da parte (a) temos
- Logo
- As integrais são logaritmos:
Fazendo o limite de
a
sobra
- Por fim ponha
:
É uma força de repulsão (se
, aponta pra direita).
Resposta
(a)
(b)