(D) Uma barra isolante e fina de comprimento 2 a é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas, de modo que suas extremidades estão em x= pm a. Ela possui uma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X, localizado a uma distância x>a da origem.
(b) Uma segunda barra, idêntica à primeira e com a mesma carga total Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento, é posicionada sobre o eixo X com suas extremidades em x=b pm a(b>2 a). Determine a força elétrica (módulo, direção e sentido) que a primeira barra exerce sobre a segunda. Sugestão: Divida a segunda barra em elementos infinitesimais de carga e considere a interação entre estes elementos e a primeira barra.

Passo 1

Beleza, tamo com uma barra fininha de comprimento 2a toda carregada com carga total Q (distribuição uniforme). Ela fica em xin[-a,+a].
(a) Primeiro a gente quer o campo elétrico num ponto P também no eixo X, mas com coordenada x>a.
(b) Depois mete uma segunda barra igualzinha (mesmos 2a, mesma carga Q) em xin[b-a,b+a] (com b>2a) e a gente calcula a força que a primeira barra faz na segunda.
Isso é eletrostática de distribuição linear: densidade lambda=Q/(2a), usamos a lei de Coulomb e integramos.

Passo 2

Resolvendo (a):
  1. A densidade linear é
lambda=Q2a,
  1. Em cada pedacinho dx' na posição x' da barra, tem
dq=lambda,dx' Longrightarrow dE(x)=14pivarepsilon0,dql(x-x'r)^2 =14pivarepsilon0,lambda,dx'(x-x')^2,,
e como x>x' o campo aponta pra direita ( hat x).
3) Integramos de x'=-a até x'=+a:
E(x) =lambda4pivarepsilon0 integral-a^+adx'(x-x')^2 =lambda4pivarepsilon0l[1x-a-1x+ar]
  1. Substituindo lambda=Q/(2a) e juntando frações dá
E(x) =14pivarepsilon0,Qx^2-a^2,hat x, x>a

Passo 3

Resolvendo (b):
  1. Cada pedacinho dx2 da segunda barra (em x2in[b-a,b+a]) tem carga dq2=lambda,dx2 e sofre dF=dq2,E1(x2), onde E1(x2) é o campo da primeira barra naquele ponto.
  2. Da parte (a) temos
E1(x2) =lambda4pivarepsilon0l[1x2-a-1x2+ar]
  1. Logo
F =integralb-a^b+adq2,E1(x2) =lambda^24pivarepsilon0 integralb-a^b+al[1x2-a-1x2+ar]dx2
  1. As integrais são logaritmos:
integraldx2x2-a=ln|x2-a|, integraldx2x2+a=ln|x2+a|
Fazendo o limite de b-a a b+a sobra
F =lambda^24pivarepsilon0, ln!l[(b+a)-a(b-a)-acdot(b-a)+a(b+a)+ar] =lambda^24pivarepsilon0, ln!b^2b^2-4a^2,hat x
  1. Por fim ponha lambda=Q/(2a):
F =14pivarepsilon0l(Q2ar)^!2 ln!b^2b^2-4a^2,hat x
É uma força de repulsão (se Q>0, aponta pra direita).

Resposta

(a)
E(x)=14pivarepsilon0,Qx^2-a^2,hat x, x>a
(b)
F =14pivarepsilon0l(Q2ar)^!2 ln!b^2b^2-4a^2,hat x

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