(d) Considere o operador sobre R^3 de rotação em torno do eixo x, no sentido positivo, com ângulo theta. Analice em que casos é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define em R^3 o operador linear Rtheta que gira cada vetor em torno do eixo x com ângulo theta. O conteúdo é diagonalização de operadores: vamos achar autovalores e autovetores de Rtheta e ver se existe base de R^3 formada por autovetores reais.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 o operador tem matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(1-lambda)det!costheta-lambda&-sinthetasintheta&costheta-lambda =(1-lambda)l[(costheta-lambda)^2+sin^2thetar]
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2,3=costhetapm isintheta=e^pm itheta

Passo 4

Para que todos os autovalores sejam reais precisamos de sintheta=0, i.e., theta=kpi.
  • Se theta=2kpi, então Rtheta=I e lambda=1 com multiplicidade algébrica 3 e geométrica 3.
  • Se theta=(2k+1)pi, então lambda1=1 e lambda2=lambda3=-1; a multiplicidade geométrica de -1 é 2 (todo vetor no plano x=0 é autovetor de valor -1).

Passo 5

Conclusão sobre diagonalização em R^3:
  • Para theta=kpi temos três autovetores reais independentes e A é diagonalizável.
  • Para thetanotequiv0,pipmod2pi há apenas um autovalor real ( lambda=1) com um único autovetor real, faltam autovetores para formar base real, logo não é diagonalizável sobre R.

Resposta

O operador é diagonalizável em R^3 somente quando theta=kpi (isto é, thetaequiv0 ou pi módulo 2pi); para outros theta não há base real de autovetores.

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