(d) Considere o operador sobre de rotação em torno do eixo , no sentido positivo, com ângulo . Analice em que casos é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define em o operador linear que gira cada vetor em torno do eixo com ângulo . O conteúdo é diagonalização de operadores: vamos achar autovalores e autovetores de e ver se existe base de formada por autovetores reais.
Para que todos os autovalores sejam reais precisamos de sintheta=0, i.e., theta=kpi.
Se theta=2kpi, então Rtheta=I e lambda=1 com multiplicidade algébrica 3 e geométrica 3.
Se theta=(2k+1)pi, então lambda1=1 e lambda2=lambda3=-1; a multiplicidade geométrica de -1 é 2 (todo vetor no plano x=0 é autovetor de valor -1).
Passo 5
Conclusão sobre diagonalização em R^3:
Para theta=kpi temos três autovetores reais independentes e A é diagonalizável.
Para thetanotequiv0,pipmod2pi há apenas um autovalor real (lambda=1) com um único autovetor real, faltam autovetores para formar base real, logo não é diagonalizável sobre R.
Resposta
O operador é diagonalizável em R^3somente quando theta=kpi (isto é, thetaequiv0 ou pi módulo 2pi); para outros theta não há base real de autovetores.