Seja T: R^3 R^3 um operador linear cuja representação matricial na base de R^3, beta= [l1 0 0],[c1 -1 0],[c-1 1 1] é: A=[T]beta=[lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1]. Mostre que T é diagonalizável e calcule uma base formada por autovetores.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base
beta=lbeta1=(1,0,0)^T,;beta2=(1,-1,0)^T,;beta3=(-1,1,1)^Tr é
A= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Pede-se mostrar que T é diagonalizável e encontrar uma base de R^3 formada por autovetores de T.

Passo 2

Note que
A=uu^T, u=(1,1,1)^T,
é uma matriz de posto 1. É conhecido que tais matrizes têm um único autovalor não-nulo igual a
u^Tu=3 e o autovalor 0 com multiplicidade geométrica 2.
Logo o polinômio característico é
chiA(lambda)=-lambda^2(lambda-3),
de onde os autovalores são lambda1=3 e lambda2=lambda3=0.

Passo 3

Para lambda=3 resolvemos
Ax=3x Longrightarrow (x1+x2+x3),(1,1,1)^T = (3x1,3x2,3x3)^T
Comparando componentes vê-se que x1=x2=x3.
Logo o autoespaço E3=ker(A-3I) é gerado por
v1 = (1,1,1)^Tbeta

Passo 4

Para lambda=0 resolvemos
Ax=0 Longrightarrow (x1+x2+x3),(1,1,1)^T=(0,0,0)^T
que implica x1+x2+x3=0.
Assim o autoespaço E0 tem dimensão 2 e podemos escolher, em coordenadas em beta,
v2=(1,-1,0)^Tbeta, v3=(1,0,-1)^Tbeta

Passo 5

Para obter os vetores em coordenadas padrão, escrevemos cada v=(c1,c2,c3)^Tbeta = c1beta1+c2beta2+c3beta3.
v1 = beta1+beta2+beta3 = (1,0,0)+(1,-1,0)+(-1,1,1) = (1,0,1),
v2 = beta1-beta2 = (1,0,0)-(1,-1,0) = (0,1,0),
v3 = beta1-beta3 = (1,0,0)-(-1,1,1) = (2,-1,-1)
Esses três vetores são linearmente independentes e cada um satisfaz T(vi)=lambdaivi.

Resposta

Uma base de R^3 formada por autovetores de T é
(1,0,1),;(0,1,0),;(2,-1,-1),
logo T é diagonalizável.

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