Seja um operador linear cuja representação matricial na base de é: A=[T]beta=[lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1]. Mostre que T é diagonalizável e calcule uma base formada por autovetores.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base beta=lbeta1=(1,0,0)^T,;beta2=(1,-1,0)^T,;beta3=(-1,1,1)^Tr é
A= 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Pede-se mostrar que T é diagonalizável e encontrar uma base de R^3 formada por autovetores de T.
Passo 2
Note que
A=uu^T, u=(1,1,1)^T,
é uma matriz de posto 1. É conhecido que tais matrizes têm um único autovalor não-nulo igual a u^Tu=3 e o autovalor 0 com multiplicidade geométrica 2.
Logo o polinômio característico é
chiA(lambda)=-lambda^2(lambda-3),
de onde os autovalores são lambda1=3 e lambda2=lambda3=0.