Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se
for uma matriz quadrada e
com
, então
é um autovetor de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada
e um vetor
tais que
com
, então
é um autovetor de
. Vamos lembrar a definição de autovetor para analisar isso.
Passo 2
Por definição, dizemos que
é um autovetor de
associado ao autovalor
se e somente se
-
, e -
.
Ou seja, além de satisfazer a equação de autovalor, o vetornão pode ser o vetor nulo.
Passo 3
No enunciado só se exige que
com
, mas não há nenhuma hipótese de que
. Logo, a solução trivial
também satisfaz
para qualquer
, mesmo
. Porém, o vetor nulo não é considerado um autovetor.
Passo 4
Contraexemplo explícito: seja qualquer matriz quadrada
, tome
Então
, mas
não é um autovetor porque é o vetor nulo.
Resposta
A afirmação é falsa.