Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se A for uma matriz quadrada e A v=lambda v com lambda neq 0, então v é um autovetor de A.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A e um vetor v tais que
A v = lambda v
com lambda neq 0, então v é um autovetor de A. Vamos lembrar a definição de autovetor para analisar isso.

Passo 2

Por definição, dizemos que v é um autovetor de A associado ao autovalor lambda se e somente se
  1. A v = lambda v, e
  2. v neq 0.
    Ou seja, além de satisfazer a equação de autovalor, o vetor v não pode ser o vetor nulo.

Passo 3

No enunciado só se exige que A v = lambda v com lambda neq 0, mas não há nenhuma hipótese de que v neq 0. Logo, a solução trivial v=0 também satisfaz
Acdot 0 = 0 = lambdacdot 0
para qualquer lambda, mesmo lambdaneq0. Porém, o vetor nulo não é considerado um autovetor.

Passo 4

Contraexemplo explícito: seja qualquer matriz quadrada A, tome
v = 0 e lambda = 1neq 0
Então A v = Acdot 0 = 0 = 1cdot 0, mas v não é um autovetor porque é o vetor nulo.

Resposta

A afirmação é falsa.

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