Verifique isso, diferenciando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar a relação da derivada dos polinômios de Hermite, que é dada por:
Então, estamos trabalhando com Polinômios de Hermite, que são importantes em áreas como a física quântica. Para resolver isso, precisamos saber como derivar esses polinômios e conhecer os polinômios de ordem inferior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição dos polinômios de Hermite. Os primeiros polinômios de Hermite são:
- $ H_0(\xi) = 1 $
- $ H_1(\xi) = 2\xi $
- $ H_2(\xi) = 4\xi^2 - 2 $
- $ H_3(\xi) = 8\xi^3 - 12\xi $
- $ H_4(\xi) = 16\xi^4 - 48\xi^2 + 12 $
- $ H_5(\xi) = 32\xi^5 - 160\xi^3 + 120\xi $
- $ H_6(\xi) = 64\xi^6 - 480\xi^4 + 720\xi^2 - 120 $
Passo 3
Vamos começar diferenciando $ H_5(\xi) $. A expressão de $ H_5 $ é:
A derivada de $ H_5(\xi) $ em relação a $ \xi $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ 2n H_{n-1}(\xi) $ para $ n = 5 $:
Passo 5
Comparando a derivada que calculamos de $ H_5 $ e o valor de $ 2n H_{n-1} $:
Então, a igualdade está verificada para $ n = 5 $.
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para $ H_6(\xi) $. A expressão de $ H_6 $ é:
A derivada de $ H_6(\xi) $ em relação a $ \xi $ é:
Passo 7
Agora, calculamos $ 2n H_{n-1}(\xi) $ para $ n = 6 $:
Passo 8
Comparando a derivada que calculamos de $ H_6 $ e o valor de $ 2n H_{n-1} $:
A igualdade também está verificada para $ n = 6 $.
Resposta
Verificamos que para $ n = 5 $ e $ n = 6 $, a relação $ \frac{d H_{n}}{d \xi}=2 n H_{n-1}(\xi) $ é válida. Portanto, a fórmula está correta para esses casos.