Para o íon molecular
, faça o que se pede.
Escreva o operador hamiltoniano sem a aproximação de Born-Oppenheimer.
Fale brevemente de cada termo e explique se existe solução exata para esse problema.
Escreva o operador hamiltoniano sem a aproximação de Born-Oppenheimer.
Fale brevemente de cada termo e explique se existe solução exata para esse problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o íon molecular
e precisa escrever o operador hamiltoniano sem usar a aproximação de Born-Oppenheimer. Vamos precisar conhecer um pouco sobre o operador hamiltoniano na mecânica quântica, a aproximação de Born-Oppenheimer e como esses conceitos se aplicam a moléculas como
.
Passo 2
Primeiro, o operador hamiltoniano descreve a energia total do sistema, incluindo energia cinética e potencial. Sem a aproximação de Born-Oppenheimer, não separamos as coordenadas dos núcleos das dos elétrons, ou seja, tratamos os núcleos e os elétrons como partes interagindo dinamicamente.
Passo 3
Para o íon
, temos dois prótons (núcleos de hidrogênio) e um elétron. O hamiltoniano incluirá:
- A energia cinética do elétron.
- A energia cinética dos dois prótons.
- A energia potencial da atração entre o elétron e cada próton.
- A energia potencial da repulsão entre os dois prótons.
Passo 4
Matematicamente, o hamiltoniano sem a aproximação de Born-Oppenheimer fica assim:
Onde:
-
é a massa do elétron. -
é a massa do próton. -
é o operador laplaciano para o elétron. -
e são os operadores laplacianos para os prótons A e B. -
é a posição do elétron. -
e são as posições dos prótons A e B.
Passo 5
Vamos detalhar cada termo:
-
: Energia cinética do elétron. -
: Energia cinética dos prótons A e B. -
: Energia potencial da atração entre o elétron e cada próton. -
: Energia potencial de repulsão entre os dois prótons.
Passo 6
Agora, sobre a solução exata desse problema: infelizmente, sem a aproximação de Born-Oppenheimer, o hamiltoniano é bastante complexo devido à interação dinâmica entre o elétron e os núcleos. Isso torna impossível encontrar uma solução analítica exata. Geralmente, técnicas de aproximação ou métodos numéricos são utilizados para estudar esses sistemas.
Resposta
O operador hamiltoniano para o íon
sem a aproximação de Born-Oppenheimer é:
Cada termo representa a energia cinética do elétron e dos prótons, a atração entre o elétron e os prótons, e a repulsão entre os prótons. Não existe uma solução exata para esse hamiltoniano devido à complexidade das interações envolvidas.