(a) Para soluções normalizáveis, a constante da separação
deve ser real. Dica: escreva
(na Equação 2.7) como
(com
e
reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os
, então
deve ser zero.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela fala sobre soluções normalizáveis em um contexto que envolve uma constante de separação
. O objetivo é mostrar que para essas soluções,
tem que ser um número real. Para isso, vamos usar as Equações 2.7 e 1.20 mencionadas no enunciado. Vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e propriedades das equações diferenciais no contexto de física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução ser normalizável. Em física, especialmente na mecânica quântica, uma função de onda é normalizável se sua integral ao quadrado for finita. Isso garante que a probabilidade de encontrar uma partícula em algum lugar é 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar a constante de separação
. A dica sugere que escrevamos
como uma soma de uma parte real
e uma parte imaginária
, onde
e
são números reais. Então, temos:
Passo 4
A Equação 2.7 provavelmente envolve essa constante
de alguma forma. Substituindo a expressão de
na Equação 2.7, teremos uma equação que depende de
e
.
Passo 5
A seguir, usamos a Equação 1.20, que deve ser uma condição que a solução precisa satisfazer para todos os tempos
. Queremos mostrar que, para que essa condição seja verdadeira para todo
, a parte imaginária
precisa ser zero.
Passo 6
Vamos supor que
. Isso faria com que
tivesse uma parte imaginária, o que introduziria uma dependência exponencial na solução que cresce ou decai no tempo, dependendo do sinal de
. Mas, para que a solução seja normalizável para todo
, não podemos ter crescimento exponencial, pois isso faria a integral ao quadrado da função de onda divergir.
Passo 7
Portanto, a única maneira de garantir que a solução permaneça normalizável para todo
é exigir que a parte imaginária
seja zero. Assim,
deve ser puramente real:
Resposta
A constante de separação
deve ser real para que as soluções sejam normalizáveis, ou seja,
.