(a) Para soluções normalizáveis, a constante da separação E deve ser real. Dica: escreva E (na Equação 2.7) como E0+i Gamma (com E0 e Gamma reais) e demonstre que se a Equação 1.20 é válida para todos os t, então Gamma deve ser zero.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Ela fala sobre soluções normalizáveis em um contexto que envolve uma constante de separação E. O objetivo é mostrar que para essas soluções, E tem que ser um número real. Para isso, vamos usar as Equações 2.7 e 1.20 mencionadas no enunciado. Vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e propriedades das equações diferenciais no contexto de física.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução ser normalizável. Em física, especialmente na mecânica quântica, uma função de onda é normalizável se sua integral ao quadrado for finita. Isso garante que a probabilidade de encontrar uma partícula em algum lugar é 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar a constante de separação E. A dica sugere que escrevamos E como uma soma de uma parte real E0 e uma parte imaginária i Gamma, onde E0 e Gamma são números reais. Então, temos:
E = E0 + i Gamma

Passo 4

A Equação 2.7 provavelmente envolve essa constante E de alguma forma. Substituindo a expressão de E na Equação 2.7, teremos uma equação que depende de E0 e Gamma.

Passo 5

A seguir, usamos a Equação 1.20, que deve ser uma condição que a solução precisa satisfazer para todos os tempos t. Queremos mostrar que, para que essa condição seja verdadeira para todo t, a parte imaginária Gamma precisa ser zero.

Passo 6

Vamos supor que Gamma neq 0. Isso faria com que E tivesse uma parte imaginária, o que introduziria uma dependência exponencial na solução que cresce ou decai no tempo, dependendo do sinal de Gamma. Mas, para que a solução seja normalizável para todo t, não podemos ter crescimento exponencial, pois isso faria a integral ao quadrado da função de onda divergir.

Passo 7

Portanto, a única maneira de garantir que a solução permaneça normalizável para todo t é exigir que a parte imaginária Gamma seja zero. Assim, E deve ser puramente real:
E = E0

Resposta

A constante de separação E deve ser real para que as soluções sejam normalizáveis, ou seja, Gamma = 0.

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