f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_{n} \operatorname{sen}(n \pi x / a)+b_{n} \cos (n \pi x / a)\right] .
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n \pi x / a}
$$
O que é
em termos de
e
?
O que é
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas formas diferentes de escrever uma função $ f(x) $ usando séries trigonométricas e quer mostrar que elas são equivalentes. Além disso, queremos descobrir como os coeficientes $ c_n $ na segunda expressão se relacionam com os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ da primeira. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas podem ser representadas usando exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as duas formas que a função $ f(x) $ está sendo escrita:
-
Série trigonométrica:
-
Série exponencial:
Nosso objetivo é mostrar que essas duas representações são equivalentes e encontrar uma relação entre $ c_n $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 3
Vamos começar convertendo os termos seno e cosseno da série trigonométrica em termos de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler. A fórmula de Euler nos diz que:
E também:
Passo 4
Vamos aplicar essas fórmulas à nossa série trigonométrica:
Passo 5
Agora, vamos somar esses dois termos:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 6
Comparando isso com a série exponencial dada:
Observamos que cada termo $ e^{i n \pi x / a} $ tem um coeficiente $ c_n $, e o termo $ e^{-i n \pi x / a} $ corresponde a $ c_{-n} $.
Portanto, podemos identificar:
Passo 7
Vamos simplificar essas expressões para $ c_n $:
Resposta
Os coeficientes $ c_{n} $ em termos de $ a_{n} $ e $ b_{n} $ são dados por:
E para $ n = 0 $:
Isso mostra como os coeficientes na série exponencial estão relacionados aos coeficientes da série trigonométrica original.