f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_{n} \operatorname{sen}(n \pi x / a)+b_{n} \cos (n \pi x / a)\right] .
Demonstre que isso pode ser escrito equiva<=ntemente como
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n \pi x / a}
$$
O que é em termos de cn^prime e an ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas formas diferentes de escrever uma função $ f(x) $ usando séries trigonométricas e quer mostrar que elas são equivalentes. Além disso, queremos descobrir como os coeficientes $ c_n $ na segunda expressão se relacionam com os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ da primeira. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas podem ser representadas usando exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as duas formas que a função $ f(x) $ está sendo escrita:
  1. Série trigonométrica:
    f(x)
  2. Série exponencial:
    f(x) = sumn=0^infty [ an sin(n pi xa) + bn cos(n pi xa) ]
Nosso objetivo é mostrar que essas duas representações são equivalentes e encontrar uma relação entre $ c_n $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 3

Vamos começar convertendo os termos seno e cosseno da série trigonométrica em termos de exponenciais complexas usando a fórmula de Euler. A fórmula de Euler nos diz que:
e^itheta = cos(theta) + i sin(theta)
E também:
cos(theta) = e^itheta + e^-itheta2 e sin(theta) = e^itheta - e^-itheta2i

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas à nossa série trigonométrica:
an sin(n pi xa) = an ( e^i n pi x / a - e^-i n pi x / a2i )
bn cos(n pi xa) = bn ( e^i n pi x / a + e^-i n pi x / a2 )

Passo 5

Agora, vamos somar esses dois termos:
an sin(n pi xa) + bn cos(n pi xa) = an2i ( e^i n pi x / a - e^-i n pi x / a ) + bn2 ( e^i n pi x / a + e^-i n pi x / a )
Vamos reorganizar os termos:
= ( bn2 + an2i ) e^i n pi x / a + ( bn2 - an2i ) e^-i n pi x / a

Passo 6

Comparando isso com a série exponencial dada:
f(x) = sumn=-infty^infty cn e^i n pi x / a
Observamos que cada termo $ e^{i n \pi x / a} $ tem um coeficiente $ c_n $, e o termo $ e^{-i n \pi x / a} $ corresponde a $ c_{-n} $.
Portanto, podemos identificar:
e^i n pi x / a

Passo 7

Vamos simplificar essas expressões para $ c_n $:
cn
cn = bn2 + an2i = bn - i an2

Resposta

Os coeficientes $ c_{n} $ em termos de $ a_{n} $ e $ b_{n} $ são dados por:
cn
an
E para $ n = 0 $:
bn
Isso mostra como os coeficientes na série exponencial estão relacionados aos coeficientes da série trigonométrica original.

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