Hn(xi)=(-1)^n e^xi^2(dd xi)^n e^-xi^2
Use-a para obter H3 e H4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos deu uma fórmula para os polinômios de Hermite:
Hn(xi) = (-1)^n e^xi^2 (dd xi)^n e^-xi^2
Nosso objetivo é encontrar $ H_{3}(\xi) $ e $ H_{4}(\xi) $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar derivadas sucessivas e manipular exponenciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula. $ H_{n}(\xi) $ é definido como $ (-1)^{n} $ vezes $ e{\xi{2}} $ multiplicado pela $ n $-ésima derivada de $ e{-\xi{2}} $ em relação a $ \xi $. Ou seja, para encontrar $ H_{3} $ e $ H_{4} $, precisamos calcular a terceira e a quarta derivada de $ e{-\xi{2}} $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ H_{3}(\xi) $. Primeiro, calculamos a terceira derivada de $ e{-\xi{2}} $:
1ª derivada:
H3(xi)
2ª derivada:
e^-xi^2
3ª derivada:
ddxi e^-xi^2 = -2xi e^-xi^2

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para $ H_{3}(\xi) $:
H3(xi)

Passo 5

Vamos agora calcular $ H_{4}(\xi) $. Primeiro, calculamos a quarta derivada de $ e{-\xi{2}} $:
4ª derivada:
H4(xi)

Passo 6

Aplicamos a fórmula para $ H_{4}(\xi) $:
H4(xi)

Resposta

Portanto, os polinômios de Hermite são:
H3(xi) = 8xi^3 - 12xi
e
H4(xi) = 16xi^4 - 48xi^2 + 12

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