Use-a para obter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos deu uma fórmula para os polinômios de Hermite:
Nosso objetivo é encontrar $ H_{3}(\xi) $ e $ H_{4}(\xi) $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar derivadas sucessivas e manipular exponenciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula. $ H_{n}(\xi) $ é definido como $ (-1)^{n} $ vezes $ e{\xi{2}} $ multiplicado pela $ n $-ésima derivada de $ e{-\xi{2}} $ em relação a $ \xi $. Ou seja, para encontrar $ H_{3} $ e $ H_{4} $, precisamos calcular a terceira e a quarta derivada de $ e{-\xi{2}} $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ H_{3}(\xi) $. Primeiro, calculamos a terceira derivada de $ e{-\xi{2}} $:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula para $ H_{3}(\xi) $:
Passo 5
Vamos agora calcular $ H_{4}(\xi) $. Primeiro, calculamos a quarta derivada de $ e{-\xi{2}} $:
4ª derivada:
Passo 6
Aplicamos a fórmula para $ H_{4}(\xi) $:
Resposta
Portanto, os polinômios de Hermite são:
e