g) \frac{3}{x-2}=\frac{2}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x-3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Temos uma equação com frações (expressões racionais).
  • As quantidades x-2 e x-3 aparecem no denominador, portanto elas não podem ser zero: x\neq2 e x\neq3.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade, respeitando as restrições acima.

Passo 2

Idea do método (explicação didática): quando temos uma igualdade entre duas frações
\frac{a}{b}=\frac{c}{d},
com b\neq0 e d\neq0, podemos multiplicar ambos os lados por bd para eliminar os denominadores. Fazendo isso obtemos
ad=bc.
Isso é seguro porque multiplicar por um número diferente de zero preserva a igualdade. Vou aplicar essa ideia ao nosso caso, lembrando de não multiplicar por zero (por isso já ressaltamos que x\neq2 e x\neq3).

Passo 3

Multiplico ambos os lados da equação por (x-2)(x-3), que é o produto dos denominadores (e que não é zero pelas restrições):
(x-2)(x-3)\cdot\frac{3}{x-2}=(x-2)(x-3)\cdot\frac{2}{x-3}.

Passo 4

Ao simplificar os fatores, os denominadores cancelam com parte do produto, ficando
3(x-3)=2(x-2).
Agora tenho uma equação polinomial simples (linear) para resolver.

Passo 5

Faço as multiplicações e resolvo a equação linear passo a passo:
3(x-3)=3x-9,
2(x-2)=2x-4.
Logo a equação vira
3x-9=2x-4.
Isolando x: subtraio 2x de ambos os lados e somo 9 a ambos os lados,
3x-2x=-4+9,
x=5.

Passo 6

Verificação e domínio: preciso checar se x=5 respeita as restrições x\neq2 e x\neq3. Como 5\neq2 e 5\neq3, está tudo bem. Verifico substituindo na equação original:
\text{LHS}=\frac{3}{5-2}=\frac{3}{3}=1,
\text{RHS}=\frac{2}{5-3}=\frac{2}{2}=1.
Como \text{LHS}=\text{RHS}, x=5 é solução válida.

Passo 7

Conclusão: a equação possui exatamente uma solução real, que é x=5. Força aí — esse tipo de equação é sempre resolvível com a técnica de eliminar denominadores e resolver a linear resultante. Treina mais uns exemplos parecidos para fixar.

Resposta

x=5

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