Se D=\left|\begin{array}{cccc}x-1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & x & 0 & 0 \\\\ 1 & x & 1 & 0 \\\ x & 1 & 1 & 1\end{array}\right|, para que valores de x
se tem D^{2}=2 D ?
e pede: para quais valores de x vale a igualdade \,D^{2}=2D.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A matriz é quadrada 4\times4 com entradas explícitas dependentes de x.
A incógnita é x.
A condição a satisfazer é \,D^{2}=2D.
Passo 2
Para resolver precisamos primeiro calcular D em função de x. Vou usar a expansão por cofatores ao longo da primeira linha porque nessa linha só o primeiro elemento é diferente de zero, o que simplifica bastante.
Regra (explicação rápida): se numa linha i só um elemento a_{ij} é não nulo, então
\det(A)=a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a menor obtida removendo a linha i e a coluna j.
No nosso caso o único elemento não nulo da primeira linha é a_{11}=x-1. Assim
D=(x-1)\cdot\det(M),
onde M é a matriz 3\times3 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna:
M=\begin{pmatrix} x & 0 & 0\\[4pt] x & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]
Passo 3
Agora calculamos \det(M). Para um 3\times3 com primeira linha (x,0,0) a fórmula de Laplace na primeira linha dá diretamente
Portanto temos duas possibilidades a resolver separadamente:
x(x-1)=0.
x(x-1)-2=0.
Passo 6
Resolver cada caso:
Caso 1: x(x-1)=0 dá diretamente
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.
Caso 2: x(x-1)-2=0 é a equação quadrática
x^{2}-x-2=0.
Essa equação fatoriza fácil:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0,
logo
x=2 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Passo 7
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): para x=0 tem-se D=0, e 0^{2}=2\cdot0 é verdade; para x=1 tem-se D=0 também; para x=2 e x=-1 tem-se D=2, e 2^{2}=2\cdot2 é verdade. Então todas as soluções são válidas.