Encontre o valor dos determinantes dados a seguir
\left|\begin{array}{ccc}-3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 4 \\\\ 5 & 0 & 7\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz 3\times3 abaixo. Aqui estão as informações dadas:
\left|\begin{array}{ccc} -3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 4 \\\\ 5 & 0 & 7 \end{array}\right|
A pergunta é: calcular o valor numérico desse determinante.

Passo 2

Vou lembrar uma fórmula prática que vou usar: expansão por cofatores ao longo de uma coluna. Para uma matriz 3\times3 qualquer A=(a_{ij}), a expansão do determinante ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij},
onde:
  • a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j;
  • M_{ij} é o menor complementar: o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j;
  • (-1)^{i+j}M_{ij} é o cofator correspondente ao elemento a_{ij}.
Essa fórmula significa que para calcular o determinante podemos somar, para uma coluna fixa, cada elemento dessa coluna multiplicado pelo seu cofator.

Passo 3

Agora observe a matriz dada: todos os elementos da segunda coluna são zero. Ou seja,
a_{12}=0,\qquad a_{22}=0,\qquad a_{32}=0.
Se aplicarmos a expansão por cofatores pela coluna j=2, usando a fórmula do passo anterior, obtemos
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} a_{i2}(-1)^{i+2}M_{i2}=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32},
onde C_{i2}=(-1)^{i+2}M_{i2} são os cofatores da coluna 2.

Passo 4

Como a_{12}=a_{22}=a_{32}=0, cada termo da soma é zero. Logo
\det(A)=0+0+0=0.
Uma explicação conceitual rápida: se uma coluna inteira de uma matriz é nula, o determinante é zero, porque o determinante é linear em cada coluna e alterna quando duas colunas são iguais — aqui a coluna nula é combinação trivial que anula a contribuição.

Resposta

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