D.2- Mostrar que
\bar{e}_{r s t}=\left|\frac{\partial x^{n}}{\partial z^{m}}\right|^{-1} e_{i j k} \frac{\partial x^{i}}{\partial z^{r}} \frac{\partial x^{j}}{\partial z^{s}} \frac{\partial x^{k}}{\partial z^{t}}=\Delta^{-1} e_{i j k} \frac{\partial x^{i}}{\partial z^{r}} \frac{\partial x^{j}}{\partial z^{s}} \frac{\partial x^{k}}{\partial z^{t}}
Dica: Siga os passos da seção 2.3.2 onde derivamos a expressão equivalente para \bar{e}^{r s t}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como o símbolo de Levi–Civita com índices inferiores se transforma sob mudança de coordenadas x^{i}\to z^{r}. O conteúdo é cálculo tensorial de densidades, em particular a transformação de \bar e_{rst}. Para isso vamos usar (i) a expressão já obtida em seção 2.3.2 para \bar e^{rst}, (ii) a relação de troca de índices via métrica e (iii) a regra de transformação da métrica.

Passo 2

Na seção 2.3.2 vimos que o símbolo com índices superiores muda como densidade de peso +1, ou seja
\bar e^{rst} =\Bigl|\frac{\partial z^{n}}{\partial x^{m}}\Bigr|\, e^{ijk}\, \frac{\partial z^{r}}{\partial x^{i}}\, \frac{\partial z^{s}}{\partial x^{j}}\, \frac{\partial z^{t}}{\partial x^{k}}
Denotando
J=\Bigl|\frac{\partial z^{n}}{\partial x^{m}}\Bigr|
temos
\bar e^{rst} =J\,e^{ijk}\, \frac{\partial z^{r}}{\partial x^{i}}\, \frac{\partial z^{s}}{\partial x^{j}}\, \frac{\partial z^{t}}{\partial x^{k}}.

Passo 3

Para passar aos índices inferiores usamos
\bar e_{rst} =\bar g_{ru}\,\bar g_{sv}\,\bar g_{tw}\,\bar e^{uvw},
onde a métrica nova \bar g_{ru} se obtém por
\bar g_{ru} =\frac{\partial x^{m}}{\partial z^{r}} \frac{\partial x^{n}}{\partial z^{u}} \,g_{mn}.
Substituindo em \bar e_{rst} e em \bar e^{uvw} obtemos
\bar e_{rst} =J\;g_{mn}\, \frac{\partial x^{m}}{\partial z^{r}} \frac{\partial x^{p}}{\partial z^{u}} \;g_{pq}\, \frac{\partial x^{q}}{\partial z^{s}} \;g_{kl}\, \frac{\partial x^{l}}{\partial z^{t}} \;e^{uvw} \;\; \frac{\partial z^{u}}{\partial x^{i}} \frac{\partial z^{v}}{\partial x^{j}} \frac{\partial z^{w}}{\partial x^{k}}.

Passo 4

Usando a identidade
\frac{\partial z^{u}}{\partial x^{i}} \frac{\partial x^{p}}{\partial z^{u}} =\delta_{i}^{p},
cada par métrica–derivada se combina assim:
g_{mn}\,\frac{\partial x^{m}}{\partial z^{r}} \frac{\partial z^{u}}{\partial x^{i}} =\;g_{in}\,\frac{\partial x^{n}}{\partial z^{r}}.
Aplicando isso aos três fatores, e lembrando que
g_{in}\,g_{jm}\,g_{kp}\,e^{ijk} =e_{nmp},
fica
\bar e_{rst} =J\; e_{nmp}\, \frac{\partial x^{n}}{\partial z^{r}}\, \frac{\partial x^{m}}{\partial z^{s}}\, \frac{\partial x^{p}}{\partial z^{t}}.

Passo 5

Finalmente note que
J =\Bigl|\frac{\partial z^{n}}{\partial x^{m}}\Bigr| =\Bigl|\frac{\partial x^{n}}{\partial z^{m}}\Bigr|^{-1} =\Delta^{-1},
onde \Delta=\bigl|\partial x^{n}/\partial z^{m}\bigr|. Logo
\bar e_{rst} =\Delta^{-1}\, e_{nmp}\, \frac{\partial x^{n}}{\partial z^{r}}\, \frac{\partial x^{m}}{\partial z^{s}}\, \frac{\partial x^{p}}{\partial z^{t}}.

Resposta

\bar{e}_{r s t} =\Bigl|\frac{\partial x^{n}}{\partial z^{m}}\Bigr|^{-1} \,e_{i j k}\, \frac{\partial x^{i}}{\partial z^{r}}\, \frac{\partial x^{j}}{\partial z^{s}}\, \frac{\partial x^{k}}{\partial z^{t}} =\Delta^{-1} \,e_{i j k}\, \frac{\partial x^{i}}{\partial z^{r}}\, \frac{\partial x^{j}}{\partial z^{s}}\, \frac{\partial x^{k}}{\partial z^{t}}.

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