D.3- Mostre que para um tensor covariante de segunda ordem a lei de transformação é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada covariante de um tensor covariante de segunda ordem
obedece à fórmula
O conteúdo é análise tensorial (derivada covariante) e vamos usar a definição de
como extensão da derivada de campo de vetores a tensores, junto com a relação
.
Passo 2
A derivada covariante de um tensor
atua segundo a regra de Leibniz estendida:
para quaisquer campos vetoriais
e
. Aqui escolhemos
e
, as base vetoriais coordenadas, de modo que
.
Passo 3
Aplicando ao par
, temos
Como
, o primeiro termo é
. Além disso,
Logo
e de modo análogo
Passo 4
Substituindo na expressão de
obtemos
Reconhecendo que
é justamente
, chegamos à fórmula pedida.