D.3- Mostre que para um tensor covariante de segunda ordem a lei de transformação é dada por
\frac{D C_{m n}}{D x^{p}}=\frac{\partial C_{m n}}{\partial x^{p}}-\Gamma_{m p}^{k} C_{k n}-\Gamma_{n p}^{k} C_{m k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada covariante de um tensor covariante de segunda ordem C_{mn} obedece à fórmula
\frac{D C_{mn}}{D x^p} =\frac{\partial C_{mn}}{\partial x^p} -\Gamma_{m p}^{k}\,C_{k n} -\Gamma_{n p}^{k}\,C_{m k}.
O conteúdo é análise tensorial (derivada covariante) e vamos usar a definição de \nabla como extensão da derivada de campo de vetores a tensores, junto com a relação \nabla_p e_m=\Gamma^k_{m p}\,e_k.

Passo 2

A derivada covariante de um tensor C atua segundo a regra de Leibniz estendida:
\nabla_p\bigl(C(X,Y)\bigr) =(\nabla_p C)(X,Y) + C(\nabla_p X,Y) + C(X,\nabla_p Y),
para quaisquer campos vetoriais X e Y. Aqui escolhemos X=e_m e Y=e_n, as base vetoriais coordenadas, de modo que C(e_m,e_n)=C_{mn}.

Passo 3

Aplicando ao par (e_m,e_n), temos
(\nabla_p C)(e_m,e_n) =\partial_p\bigl(C(e_m,e_n)\bigr) -C\bigl(\nabla_p e_m,e_n\bigr) -C\bigl(e_m,\nabla_p e_n\bigr).
Como C(e_m,e_n)=C_{mn}, o primeiro termo é \partial_p C_{mn}. Além disso,
\nabla_p e_m = \Gamma^k_{m p}\,e_k \quad\text{e}\quad \nabla_p e_n = \Gamma^k_{n p}\,e_k.
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C\bigl(\nabla_p e_m,e_n\bigr) =\Gamma^k_{m p}\,C(e_k,e_n) =\Gamma^k_{m p}\,C_{k n},
e de modo análogo
C\bigl(e_m,\nabla_p e_n\bigr) =\Gamma^k_{n p}\,C_{m k}.

Passo 4

Substituindo na expressão de (\nabla_p C)(e_m,e_n) obtemos
(\nabla_p C)(e_m,e_n) =\frac{\partial C_{mn}}{\partial x^p} -\Gamma^k_{m p}\,C_{k n} -\Gamma^k_{n p}\,C_{m k}.
Reconhecendo que (\nabla_p C)(e_m,e_n) é justamente \tfrac{D C_{mn}}{D x^p}, chegamos à fórmula pedida.

Resposta

\frac{D C_{mn}}{D x^p} =\frac{\partial C_{mn}}{\partial x^p} -\Gamma_{m p}^{k}\,C_{k n} -\Gamma_{n p}^{k}\,C_{m k}.

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