E.5- Derive a expressão para o operador Laplaciano de uma função escalar utilizando as expressões da análise tensorial, e mostre que o resultado é igual ao obtido na Eq. (1.3.68).
Passo 1
O enunciado pede para derivar, usando análise tensorial, a expressão do operador Laplaciano
aplicado a uma função escalar
, e mostrar que ela coincide com a fórmula
que é a Eq. (1.3.68). Vamos usar conceitos de derivada covariante, métrica
, seu determinante
e símbolos de Christoffel.
Passo 2
Lembramos que o Laplaciano de
é definido como a divergência do gradiente de
:
Aqui
é a derivada covariante e
é o gradiente contado por cima de índices.
Passo 3
Usamos a fórmula da divergência de um vetor
em coordenadas gerais:
e sabemos que
Passo 4
Aplicando isso a
, obtemos
Passo 5
Agora substituímos
:
Passo 6
Reescrevendo o termo interno como derivada de produto, chegamos à forma final:
que coincide exatamente com a Eq. (1.3.68).