E.5- Derive a expressão para o operador Laplaciano de uma função escalar utilizando as expressões da análise tensorial, e mostre que o resultado é igual ao obtido na Eq. (1.3.68).

Passo 1

O enunciado pede para derivar, usando análise tensorial, a expressão do operador Laplaciano \nabla^2 aplicado a uma função escalar \varphi, e mostrar que ela coincide com a fórmula
\nabla^2\varphi = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_i\bigl(\sqrt{g}\,g^{ij}\partial_j\varphi\bigr),
que é a Eq. (1.3.68). Vamos usar conceitos de derivada covariante, métrica g_{ij}, seu determinante g e símbolos de Christoffel.

Passo 2

Lembramos que o Laplaciano de \varphi é definido como a divergência do gradiente de \varphi:
\nabla^2\varphi = \nabla_a(\nabla^a\varphi).
Aqui \nabla_a é a derivada covariante e \nabla^a\varphi = g^{ab}\,\partial_b\varphi é o gradiente contado por cima de índices.

Passo 3

Usamos a fórmula da divergência de um vetor V^a em coordenadas gerais:
\nabla_a V^a = \partial_a V^a + \Gamma^a_{\,a b}\,V^b
e sabemos que
\Gamma^a_{\,a b} = \partial_b(\ln\sqrt{g}) = \frac{1}{\sqrt{g}}\;\partial_b\sqrt{g}.

Passo 4

Aplicando isso a V^a = \nabla^a\varphi = g^{ab}\,\partial_b\varphi, obtemos
\nabla^2\varphi = \nabla_a(g^{ab}\,\partial_b\varphi) = \partial_a(g^{ab}\partial_b\varphi) + \Gamma^a_{\,a c}\,g^{cb}\partial_b\varphi.

Passo 5

Agora substituímos \Gamma^a_{\,a c} = \tfrac{1}{\sqrt{g}}\partial_c\sqrt{g}:
\nabla^2\varphi = \partial_a(g^{ab}\partial_b\varphi) + \frac{1}{\sqrt{g}}(\partial_c\sqrt{g})\,g^{cb}\partial_b\varphi = \frac{1}{\sqrt{g}}\Bigl[\sqrt{g}\,\partial_a(g^{ab}\partial_b\varphi)\Bigr].

Passo 6

Reescrevendo o termo interno como derivada de produto, chegamos à forma final:
\nabla^2\varphi = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_a\!\bigl(\sqrt{g}\,g^{ab}\partial_b\varphi\bigr),
que coincide exatamente com a Eq. (1.3.68).

Resposta

\nabla^2\varphi = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_i\bigl(\sqrt{g}\,g^{ij}\partial_j\varphi\bigr).

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