E.2- A função
é definida na região
. Encontre a série de Fourier de senos dessa função, indique seu perído e esboce o gráfico para os dois primeiros termos da soma.
Passo 1
O enunciado dá a função
em
e pede a série de Fourier de senos (meia-onda ímpar) nesse intervalo, além de indicar o período da extensão periódica e esboçar o gráfico da soma truncada nos dois primeiros termos. Vamos usar a fórmula de série de senos em
com
.
Passo 2
Para a meia-onda ímpar com comprimento
, escrevemos
onde
Passo 3
Calculemos
Fazendo integração por partes com
,
leva a
O termo integral dá zero pois
. O termo de fronteira em
fica
Passo 4
Logo
Portanto a série de senos é
Passo 5
Como os argumentos das senóides são
, o modo fundamental tem período
tal que
, ou seja
Assim, a série representa a extensão ímpar de
com período
.
Passo 6
Os dois primeiros termos (
) são
Esse
esboça-se em
como a soma de uma senóide de período
e outra de período
, ambas zero em
e em
. O gráfico apresenta uma crista aproximada perto de
(próximo de
) e cai a zero em
, gerando pequena defasagem em relação à reta
.
Resposta
e os dois primeiros termos são