E.2- A função f(t)=t é definida na região 0 \leq t \leq 2. Encontre a série de Fourier de senos dessa função, indique seu perído e esboce o gráfico para os dois primeiros termos da soma.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(t)=t\; em 0\le t\le2 e pede a série de Fourier de senos (meia-onda ímpar) nesse intervalo, além de indicar o período da extensão periódica e esboçar o gráfico da soma truncada nos dois primeiros termos. Vamos usar a fórmula de série de senos em [0,L] com L=2.

Passo 2

Para a meia-onda ímpar com comprimento L=2, escrevemos
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr),
onde
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{L}\bigr)\,dt =\int_{0}^{2}t\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculemos
b_n=\int_{0}^{2}t\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t, dv=\sin\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)dt leva a
b_n =\Bigl[-\frac{2t}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{2} +\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,dt.
O termo integral dá zero pois \sin(n\pi)=0. O termo de fronteira em t=2 fica
-\frac{2\cdot2}{n\pi}\cos(n\pi) =-\frac{4}{n\pi}(-1)^n.

Passo 4

Logo
b_n=\frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}.
Portanto a série de senos é
\boxed{ f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr). }

Passo 5

Como os argumentos das senóides são \tfrac{n\pi t}{2}, o modo fundamental tem período T tal que
\tfrac{\pi}{2}T=2\pi, ou seja
T=4.
Assim, a série representa a extensão ímpar de f(t)=t com período 4.

Passo 6

Os dois primeiros termos ( n=1,2) são
S_2(t) =\frac{4}{\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) -\frac{2}{\pi}\sin(\pi t).
Esse S_2(t) esboça-se em [0,2] como a soma de uma senóide de período 4 e outra de período 2, ambas zero em t=0 e em t=2. O gráfico apresenta uma crista aproximada perto de t=1 (próximo de f(1)=1) e cai a zero em t=2, gerando pequena defasagem em relação à reta f(t)=t.

Resposta

f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n+1}}{n\pi}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr), \quad T=4,
e os dois primeiros termos são
\frac{4}{\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) -\frac{2}{\pi}\sin(\pi t).

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