D.1- Mostre que se um sistema de coordenadas é simétrico em um sistema de coordenadas, ele será simétrico em qualquer outro sistema.
Dica: Suponha A^{m n}=A^{n m} em \left\{x^{k}\right\} e construa sua lei de transformação para um sistema arbitrário usando as propriedades discutidas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um tensor de posto dois contravariante A^{mn} satisfaz
A^{mn}=A^{nm}
num dado sistema de coordenadas \{x^k\}, então em qualquer outro sistema \{x'^{\,p}\} ele permanece simétrico. Vamos usar a lei de transformação de tensores contravariantes de segunda ordem.

Passo 2

A lei de transformação de A^{mn} para as componentes A'^{\,pq} no novo sistema \{x'^{\,p}\} é
A'^{\,pq} = \frac{\partial x'^{\,p}}{\partial x^{m}} \,\frac{\partial x'^{\,q}}{\partial x^{n}} \;A^{mn},
onde há somatório sobre m e n.

Passo 3

Escrevendo a componente transposta A'^{\,qp}, obtemos
A'^{\,qp} = \frac{\partial x'^{\,q}}{\partial x^{m}} \,\frac{\partial x'^{\,p}}{\partial x^{n}} \;A^{mn}.

Passo 4

Como os índices m e n são índices de soma (dummy), podemos trocá-los sem alterar o valor da soma. Além disso temos A^{mn}=A^{nm}. Então, na expressão de A'^{\,qp}, faça m\leftrightarrow n:
A'^{\,qp} = \frac{\partial x'^{\,q}}{\partial x^{n}} \,\frac{\partial x'^{\,p}}{\partial x^{m}} \;A^{nm} = \frac{\partial x'^{\,p}}{\partial x^{m}} \,\frac{\partial x'^{\,q}}{\partial x^{n}} \;A^{mn} = A'^{\,pq}.

Resposta

Mostramos que
A'^{\,pq}=A'^{\,qp},
ou seja, a simetria persiste em qualquer sistema de coordenadas.

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