D.1- Mostre que se um sistema de coordenadas é simétrico em um sistema de coordenadas, ele será simétrico em qualquer outro sistema.
Dica: Suponha
em
e construa sua lei de transformação para um sistema arbitrário usando as propriedades discutidas.
Dica: Suponha
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um tensor de posto dois contravariante
satisfaz
num dado sistema de coordenadas
, então em qualquer outro sistema
ele permanece simétrico. Vamos usar a lei de transformação de tensores contravariantes de segunda ordem.
Passo 2
A lei de transformação de
para as componentes
no novo sistema
é
onde há somatório sobre
e
.
Passo 3
Escrevendo a componente transposta
, obtemos
Passo 4
Como os índices
e
são índices de soma (dummy), podemos trocá-los sem alterar o valor da soma. Além disso temos
. Então, na expressão de
, faça
:
Resposta
Mostramos que
ou seja, a simetria persiste em qualquer sistema de coordenadas.