D.2- Mostre que se
é ímpar [ou seja,
] sua série de Fourier é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é função ímpar em
(isto é,
), então sua série de Fourier em
contém apenas termos em seno, com coeficientes
O conteúdo necessário é o desenvolvimento da série de Fourier em
e as propriedades de paridade de funções pares e ímpares, além da ortogonalidade de cossenos e senos.
Passo 2
Recordamos a forma geral da série de Fourier em
:
com
Passo 3
Como
é ímpar, temos
.
- Para
, o integrando é ímpar, logo
- Para
, o produto é ímpar (ímpar par ímpar), então
- Para
, o produto é par (ímpar ímpar par), logo o integral em duplica o de :
Passo 4
Substituindo
e
na série geral, sobra apenas
com