D.2- Mostre que se f(t) é ímpar [ou seja, f(t)=-f(-t) ] sua série de Fourier é dada por
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f\left(t^{\prime}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right] \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} t\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f(t) é função ímpar em [-L,L] (isto é, \,f(-t)=-f(t)), então sua série de Fourier em [-L,L] contém apenas termos em seno, com coeficientes
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(t')\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t'\Bigr)\,dt'\,.
O conteúdo necessário é o desenvolvimento da série de Fourier em [-L,L] e as propriedades de paridade de funções pares e ímpares, além da ortogonalidade de cossenos e senos.

Passo 2

Recordamos a forma geral da série de Fourier em [-L,L]:
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\bigr)+b_n\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\bigr)\Bigr]
com
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\,dt',\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr)\,dt',\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr)\,dt'.

Passo 3

Como f é ímpar, temos f(-t')=-f(t').
  • Para a_0, o integrando f(t') é ímpar, logo
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\,dt'=0.
  • Para a_n, o produto f(t')\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr) é ímpar (ímpar \times par = ímpar), então
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr)\,dt'=0.
  • Para b_n, o produto f(t')\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr) é par (ímpar \times ímpar = par), logo o integral em [-L,L] duplica o de [0,L]:
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t')\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr)\,dt' =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t')\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\bigr)\,dt'.

Passo 4

Substituindo a_0=0 e a_n=0 na série geral, sobra apenas
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr)
com
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t')\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t'\Bigr)\,dt'.

Resposta

f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t')\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}t'\Bigr)\,dt'\Biggr]\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}t\Bigr).

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