E.4- Mostre que integrando termo a termo a série de Fourier para t^{2} dada na Eq. (3.1.85) no limite -L<t<L obtemos
\frac{2 L^{3}}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} t\right)+\frac{12 L^{3}}{\pi^{3}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} t\right)
que é a série de Fourier para f(t)=t^{3} no limite indicado.

Passo 1

O enunciado parte da série de Fourier de t^{2} em -L<t<L, dada em (3.1.85):
t^{2}=\frac{L^{2}}{3} \;+\;\frac{4L^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).
Queremos integrar termo a termo essa série e mostrar que o resultado é exatamente a série de Fourier de f(t)=t^{3} no mesmo intervalo.

Passo 2

Integramos de 0 a t:
\int_{0}^{t}t'^{2}\,dt' =\int_{0}^{t}\frac{L^{2}}{3}\,dt' +\frac{4L^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \int_{0}^{t}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t'\Bigr)\,dt'.
Calculando cada parte, obtemos
\int_{0}^{t}t'^{2}\,dt'=\frac{t^{3}}{3}, \qquad \int_{0}^{t}\frac{L^{2}}{3}\,dt'=\frac{L^{2}}{3}\,t,
\int_{0}^{t}\cos\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t'\Bigr)\,dt' =\frac{L}{n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).
Logo
\frac{t^{3}}{3} =\frac{L^{2}}{3}\,t \;+\;\frac{4L^{2}}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \;\frac{L}{n\pi}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr) =\frac{L^{2}}{3}\,t +\frac{4L^{3}}{\pi^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 3 vem
t^{3} =L^{2}\,t +\frac{12L^{3}}{\pi^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).
Mas sabemos também que a série de Fourier em seno de t em -L<t<L é
t=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).
Substituindo esse resultado em L^{2}t obtém-se
L^{2}t = \frac{2L^{3}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr).
Logo finalmente
t^{3} =\frac{2L^{3}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr) \;+\;\frac{12L^{3}}{\pi^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr),
que é exatamente a série de Fourier de f(t)=t^{3} em -L<t<L.

Resposta

\boxed{ t^{3} =\frac{2L^{3}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr) \;+\;\frac{12L^{3}}{\pi^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3}} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}t\Bigr). }

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