E.4- Mostre que integrando termo a termo a série de Fourier para
dada na Eq. (3.1.85) no limite
obtemos
que é a série de Fourier para
no limite indicado.
Passo 1
O enunciado parte da série de Fourier de
em
, dada em (3.1.85):
Queremos integrar termo a termo essa série e mostrar que o resultado é exatamente a série de Fourier de
no mesmo intervalo.
Passo 2
Integramos de
a
:
Calculando cada parte, obtemos
Logo
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
vem
Mas sabemos também que a série de Fourier em seno de
em
é
Substituindo esse resultado em
obtém-se
Logo finalmente
que é exatamente a série de Fourier de
em
.