D.3- Demonstre o teorema de Parseval para uma função
real:
Utilize a série de Fourier na forma complexa (3.1.70), e considere que se
é real, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função real
de período
, vale
Vamos usar a série de Fourier na forma complexa e a condição de realidade
.
Passo 2
Escrevemos a série de Fourier complexa:
Pela ortogonalidade das exponenciais,
Passo 3
Multiplicamos
por si mesma e integramos:
Como
é real,
. Então
Dividindo por
, obtemos
Passo 4
Resta expressar
e
em termos de
. Sabe-se que
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Substituindo: