E.6- Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar
O objetivo é mostrar as fórmulas para as transformadas de Fourier cosseno e seno de e
. Vamos precisar da definição
O objetivo é mostrar as fórmulas para as transformadas de Fourier cosseno e seno de
e aplicar integração por partes, assumindo que
e suas derivadas tendem a zero quando
.
Passo 2
Derivação de
Pela definição,
Pela definição,
Fazendo integração por partes com
,
, temos
Pela hipótese
e
, o termo de contorno vale
. Logo
Multiplicando pelo fator
, conclui-se
Passo 3
Derivação de
Começamos por
Começamos por
Integramos por partes com
,
, obtendo
Os contornos são nulos (
e
), restando
Multiplicando por
, vem
Passo 4
Derivação de
por composição das fórmulas já obtidas
Usamos a propriedade do passo 2 aplicada a :
Usamos a propriedade do passo 2 aplicada a
Como no passo 3 mostramos
, segue
Passo 5
Derivação de
por composição
Aplicamos a fórmula do passo 3 a :
Aplicamos a fórmula do passo 3 a
Do passo 2 temos
, logo