E.6- Mostre que
\begin{aligned} & F_{c}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=\omega F_{s}\{f(t)\}-\sqrt{\frac{2}{\pi}} f(0) \\\ & F_{s}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=-\omega F_{c}\{f(t)\} \\\ & F_{c}\left\{f^{\prime \prime}(t)\right\}=-\omega^{2} F_{c}\{f(t)\}-\sqrt{\frac{2}{\pi}} f^{\prime}(0) \\\ & F_{s}\left\{f^{\prime \prime}(t)\right\}=-\omega^{2} F_{s}\{f(t)\}+\sqrt{\frac{2}{\pi}} \omega f(0) \end{aligned}

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos usar
O objetivo é mostrar as fórmulas para as transformadas de Fourier cosseno e seno de f'(t) e f''(t). Vamos precisar da definição
F_{c}\{f(t)\}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,dt,
F_{s}\{f(t)\}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,dt,
e aplicar integração por partes, assumindo que f(t) e suas derivadas tendem a zero quando t\to\infty.

Passo 2

Derivação de F_{c}\{f'(t)\}
Pela definição,
F_{c}\{f'(t)\} =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f'(t)\cos(\omega t)\,dt.
Fazendo integração por partes com
\displaystyle u=f'(t), dv=\cos(\omega t)\,dt, temos
\int_{0}^{\infty}f'\cos(\omega t)\,dt =\Bigl[f(t)\cos(\omega t)\Bigr]_{0}^{\infty} +\omega\int_{0}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,dt.
Pela hipótese f(\infty)=0 e \cos(0)=1, o termo de contorno vale -f(0). Logo
\int_{0}^{\infty}f'\cos(\omega t)\,dt =-f(0)+\omega\int_{0}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)\,dt.
Multiplicando pelo fator \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}, conclui-se
F_{c}\{f'(t)\} =\omega\,F_{s}\{f(t)\} -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f(0).

Passo 3

Derivação de F_{s}\{f'(t)\}
Começamos por
F_{s}\{f'(t)\} =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f'(t)\sin(\omega t)\,dt.
Integramos por partes com
\displaystyle u=f'(t), dv=\sin(\omega t)\,dt, obtendo
\int_{0}^{\infty}f'\sin(\omega t)\,dt =\Bigl[-\,\tfrac{1}{\omega}f(t)\cos(\omega t)\Bigr]_{0}^{\infty} -\Bigl(-\tfrac{1}{\omega}\Bigr)\int_{0}^{\infty}f(t)\omega\cos(\omega t)\,dt.
Os contornos são nulos ( f(\infty)=0 e \sin(0)=0), restando
\int_{0}^{\infty}f'\sin(\omega t)\,dt =-\omega\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,dt.
Multiplicando por \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}, vem
F_{s}\{f'(t)\} =-\omega\,F_{c}\{f(t)\}.

Passo 4

Derivação de F_{c}\{f''(t)\} por composição das fórmulas já obtidas
Usamos a propriedade do passo 2 aplicada a f'(t):
F_{c}\{f''(t)\} =\omega\,F_{s}\{f'(t)\} -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f'(0).
Como no passo 3 mostramos F_{s}\{f'(t)\}=-\omega\,F_{c}\{f(t)\}, segue
F_{c}\{f''(t)\} =\omega\bigl(-\omega\,F_{c}\{f(t)\}\bigr) -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f'(0) =-\omega^{2}F_{c}\{f(t)\} -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f'(0).

Passo 5

Derivação de F_{s}\{f''(t)\} por composição
Aplicamos a fórmula do passo 3 a f'(t):
F_{s}\{f''(t)\} =-\omega\,F_{c}\{f'(t)\}.
Do passo 2 temos F_{c}\{f'(t)\}=\omega F_{s}\{f(t)\}-\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}f(0), logo
F_{s}\{f''(t)\} =-\omega\Bigl(\omega F_{s}\{f(t)\}-\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,f(0)\Bigr) =-\omega^{2}F_{s}\{f(t)\} +\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\omega\,f(0).

Resposta

F_{c}\{f'(t)\}=\omega\,F_{s}\{f(t)\}-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f(0)
F_{s}\{f'(t)\}=-\omega\,F_{c}\{f(t)\}
F_{c}\{f''(t)\}=-\omega^{2}F_{c}\{f(t)\}-\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,f'(0)
F_{s}\{f''(t)\}=-\omega^{2}F_{s}\{f(t)\}+\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\omega\,f(0)

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