D.3- Demonstre o teorema de Parseval para uma função f(t) real:
\frac{1}{2 p} \int_{-p}^{p}[f(t)]^{2} d t=\frac{1}{4} a_{0}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)
\underline{\text { Dica: }} Utilize a série de Fourier na forma complexa (3.1.70), e considere que se f(t) é real, então c_{-n}=c_{n}^{*}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função real f(t) de período 2p, vale
\frac{1}{2p}\int_{-p}^{p}[f(t)]^{2}\,dt \;=\;\frac{1}{4}a_{0}^{2} \;+\;\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\bigr).
Vamos usar a série de Fourier na forma complexa e a condição de realidade c_{-n}=c_{n}^{*}.

Passo 2

Escrevemos a série de Fourier complexa:
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\,e^{\,j n\pi t/p}, \quad c_{n}=\frac{1}{2p}\int_{-p}^{p}f(t)\,e^{-\,j n\pi t/p}\,dt.
Pela ortogonalidade das exponenciais,
\int_{-p}^{p}e^{\,j n\pi t/p}\,e^{\,j m\pi t/p}\,dt =2p\,\delta_{n+m,0}.

Passo 3

Multiplicamos f(t) por si mesma e integramos:
\int_{-p}^{p}[f(t)]^{2}\,dt =\int_{-p}^{p}\sum_{n}\sum_{k}c_{n}c_{k}\,e^{\,j(n+k)\pi t/p}\,dt =\sum_{n,k}c_{n}c_{k}\;2p\,\delta_{n+k,0} =2p\sum_{n}c_{n}c_{-n}.
Como f é real, c_{-n}=c_{n}^{*}. Então
\int_{-p}^{p}[f(t)]^{2}\,dt =2p\sum_{n}c_{n}c_{n}^{*} =2p\Bigl(|c_{0}|^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}2\,|c_{n}|^{2}\Bigr).
Dividindo por 2p, obtemos
\frac{1}{2p}\int_{-p}^{p}[f(t)]^{2}\,dt =|c_{0}|^{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2}.

Passo 4

Resta expressar c_{0} e c_{n} em termos de a_{0},a_{n},b_{n}. Sabe-se que
c_{0}=\frac{a_{0}}{2}, \quad c_{n}=\frac{1}{2}(a_{n}-j\,b_{n}),
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|c_{0}|^{2}=\frac{a_{0}^{2}}{4}, \quad |c_{n}|^{2}=\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{4}.
Substituindo:
|c_{0}|^{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}|c_{n}|^{2} =\frac{a_{0}^{2}}{4} +2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{4} =\frac{a_{0}^{2}}{4} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{2p}\int_{-p}^{p}[f(t)]^{2}\,dt =\frac{1}{4}a_{0}^{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\bigr).

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