E.4- É possível mostrar que o símbolo de Christoffel de tipo 2 pode ser escrito como
Determine as componentes deste símbolo em coordenadas esféricas.
Dica: Usar a forma contraída do símbolo de Christoffel,
Dica: Usar a forma contraída do símbolo de Christoffel,
Passo 1
O enunciado pede para calcular as componentes do símbolo de Christoffel de tipo 2 em coordenadas esféricas
, usando
Vamos precisar do tensores métrico
e sua inversa
em coordenadas esféricas, e das derivadas parciais de
.
Passo 2
A line element em coordenadas esféricas é
Logo, as componentes não nulas de
e de
são
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
,
,
.
Todas as outras envolvidas são zero.
Todas as outras
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para os casos com
(ou seja,
):
– Para
:
– Para
:
Passo 5
Componentes com
(ou seja,
):
– Para
(e simetricamente
):
– Para
:
Passo 6
Componentes com
(ou seja,
):
– Para
(e simetricamente
):
– Para
(e simetricamente
):