E.4- É possível mostrar que o símbolo de Christoffel de tipo 2 pode ser escrito como
\Gamma_{n p}^{m}=g^{m k} \Gamma_{k, n p}=\frac{1}{2} g^{m k}\left(\frac{\partial g_{n k}}{\partial x^{p}}+\frac{\partial g_{p k}}{\partial x^{n}}-\frac{\partial g_{n p}}{\partial x^{k}}\right)
Determine as componentes deste símbolo em coordenadas esféricas.
Dica: Usar a forma contraída do símbolo de Christoffel, \Gamma_{n m}^{m}=\frac{1}{2} g^{m k} \frac{\partial g_{m k}}{\partial x^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as componentes do símbolo de Christoffel de tipo 2 em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), usando
\Gamma^{m}_{np}=\frac12\,g^{mk}\Bigl(\frac{\partial g_{nk}}{\partial x^{p}}+\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^{n}}-\frac{\partial g_{np}}{\partial x^{k}}\Bigr).
Vamos precisar do tensores métrico g_{ij} e sua inversa g^{ij} em coordenadas esféricas, e das derivadas parciais de g_{ij}.

Passo 2

A line element em coordenadas esféricas é
ds^2 = dr^2 + r^2\,d\theta^2 + r^2\sin^2\!\theta\,d\varphi^2.
Logo, as componentes não nulas de g_{ij} e de g^{ij} são
g_{11}=1,\quad g_{22}=r^2,\quad g_{33}=r^2\sin^2\theta,
g^{11}=1,\quad g^{22}=\frac1{r^2},\quad g^{33}=\frac1{r^2\sin^2\theta}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\partial_{r}g_{22}=2r,
\partial_{r}g_{33}=2r\sin^2\theta,
\partial_{\theta}g_{33}=2r^2\sin\theta\cos\theta.
Todas as outras \partial_{i}g_{jk} envolvidas são zero.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para os casos com m=1 (ou seja, \Gamma^r_{np}):
– Para n=p=2:
\Gamma^1_{22} =\frac12\,g^{11}\bigl(-\partial_{1}g_{22}\bigr) =-\frac12\,(2r) =-r.
– Para n=p=3:
\Gamma^1_{33} =-\frac12\,g^{11}\,\partial_{1}g_{33} =-\frac12\,(2r\sin^2\theta) =-r\sin^2\theta.

Passo 5

Componentes com m=2 (ou seja, \Gamma^\theta_{np}):
– Para n=1,p=2 (e simetricamente n=2,p=1):
\Gamma^2_{12} =\frac12\,g^{22}\,\partial_{1}g_{22} =\frac12\,\frac1{r^2}\,(2r) =\frac1r.
– Para n=p=3:
\Gamma^2_{33} =-\frac12\,g^{22}\,\partial_{2}g_{33} =-\frac12\,\frac1{r^2}\,(2r^2\sin\theta\cos\theta) =-\sin\theta\cos\theta.

Passo 6

Componentes com m=3 (ou seja, \Gamma^\varphi_{np}):
– Para n=1,p=3 (e simetricamente n=3,p=1):
\Gamma^3_{13} =\frac12\,g^{33}\,\partial_{1}g_{33} =\frac12\,\frac1{r^2\sin^2\theta}\,(2r\sin^2\theta) =\frac1r.
– Para n=2,p=3 (e simetricamente n=3,p=2):
\Gamma^3_{23} =\frac12\,g^{33}\,\partial_{2}g_{33} =\frac12\,\frac1{r^2\sin^2\theta}\,(2r^2\sin\theta\cos\theta) =\cot\theta.

Resposta

\Gamma^r_{\theta\theta} = -r
\Gamma^r_{\varphi\varphi} = -r\,\sin^2\theta
\Gamma^\theta_{r\theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac1r
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\,\cos\theta
\Gamma^\varphi_{r\varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi r} = \frac1r
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi\theta} = \cot\theta

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