d)
Passo 1
O enunciado pede para provar que todo vetor do espaço-coluna de
é ortogonal a todo vetor do espaço-nulo de
.
Conteúdo: definições de espaço-coluna e espaço-nulo, produto interno e propriedade da transposta.
Conteúdo: definições de espaço-coluna e espaço-nulo, produto interno e propriedade da transposta.
Passo 2
Seja
um vetor em
. Por definição, existe
tal que
Seja
um vetor em
. Por definição,
Passo 3
Para mostrar ortogonalidade, calculamos o produto interno
:
Pela associatividade do produto matricial,
Passo 4
Note que
Como
, temos
. Portanto
o que demonstra a ortogonalidade.
Resposta
Mostrou-se que, para todo
e todo
, vale
isto é, os dois espaços são ortogonais.