d) ^ Mostre que cada vetor dó espaço-coluna de barA é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo de A^T óçéç

Passo 1

O enunciado pede para provar que todo vetor do espaço-coluna de bar A é ortogonal a todo vetor do espaço-nulo de A^T.
Conteúdo: definições de espaço-coluna e espaço-nulo, produto interno e propriedade da transposta.

Passo 2

Seja x um vetor em Col(bar A). Por definição, existe z tal que
x = bar A,z
Seja y um vetor em Nul(A^T). Por definição,
A^T,y = 0

Passo 3

Para mostrar ortogonalidade, calculamos o produto interno xcdot y:
xcdot y = y^T,x = y^T(bar A,z)
Pela associatividade do produto matricial,
y^T(bar A,z) = (y^Tbar A),z

Passo 4

Note que
y^Tbar A = (A^T,y)^T
Como A^T,y=0, temos (A^T,y)^T=0^T=0. Portanto
xcdot y = (y^Tbar A),z = 0cdot z = 0,
o que demonstra a ortogonalidade.

Resposta

Mostrou-se que, para todo xin Col(bar A) e todo yin Nul(A^T), vale
xcdot y = 0,
isto é, os dois espaços são ortogonais.

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