As seguintes funções são transformações lineares?
S(R)=f: R R: f é infinitamente diferenciável e T: S(R) S(R) tal que T(f)=f^prime prime-2 f^prime+7 f.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial S(R) de funções fcolonRtoR infinitamente diferenciáveis e o operador
T(f) = f'' - 2 f' + 7 f
Para mostrar que T é transformação linear, precisamos verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para aditividade, tomamos f,ginS(R) e calculamos
T(f+g) = (f+g)'' -2(f+g)' +7(f+g) = f'' + g'' -2(f'+g') +7f+7g = (f'' -2f'+7f) + (g'' -2g'+7g) = T(f) + T(g)

Passo 3

Para homogeneidade, tomamos alphainR e finS(R) e calculamos
T(alpha f) = (alpha f)'' -2(alpha f)' +7(alpha f) = alpha f'' -2alpha f' +7alpha f = alpha(f'' -2f' +7f) = alpha T(f)

Resposta

Sim, T é transformação linear.

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