Determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=P2(R), B=-x^2+x, x+1, x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
B = -x^2+x,;x+1,;x
é uma base de V = P2(R).
Como dim P2(R)=3, basta mostrar que os três vetores de B são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio de B em coordenadas na base canônica 1,x,x^2:
-x^2+x mapsto 01-1, x+1 mapsto 110, x mapsto 010

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas e calculamos o determinante:
A = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0
Um cálculo rápido dá
det(A) = 0cdotdet1&10&0 -1cdotdet1&1-1&0 +0cdotdet1&1-1&0 =-1l(1cdot0-1cdot(-1)r)=-1neq0
Como det(A)neq0, as colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que B consiste de 3 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, logo B é uma base de P2(R).

Resposta

B é uma base de V.

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