Um tanque cilíndrico de volume 240 L está inicialmente cheio com substância que contém
de sal dissolvida em água. A partir do instante
de sal moura com concentração de
flui para dentro do tanque. Sabe-se, também, que
de sal moura bem agitada (mexida) flui para fora do tanque. Determine a quantidade de sal
em kg.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante de
L inicialmente contendo
kg de sal dissolvido. A partir de
entra salmoura a
L/min com concentração
kg/L e sai a mesma vazão de
L/min de mistura bem agitada.
Conteúdo: problemas de mistura, modelagem por EDO linear de primeira ordem. Vamos montar a equação diferencial para a quantidade de sal .
Conteúdo: problemas de mistura, modelagem por EDO linear de primeira ordem. Vamos montar a equação diferencial para a quantidade de sal
Passo 2
A taxa de entrada de sal é a concentração da salmoura de entrada vezes a vazão de entrada:
A taxa de saída de sal é a concentração instantânea no tanque
vezes a vazão de saída
L/min:
Passo 3
Montamos a equação diferencial da conservação de sal:
Passo 4
Essa é uma EDO linear da forma
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
e integrando, vem
Assim
Passo 5
Usando a condição inicial
, temos
Logo a solução geral é