Um tanque cilíndrico de volume 240 L está inicialmente cheio com substância que contém S_{0} \mathrm{~kg} de sal dissolvida em água. A partir do instante t=0,2 L / \mathrm{min} de sal moura com concentração de 0.10 \mathrm{~kg} / L flui para dentro do tanque. Sabe-se, também, que 2 L / \min de sal moura bem agitada (mexida) flui para fora do tanque. Determine a quantidade de sal S(t) em kg.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante de 240 L inicialmente contendo \,S_{0} kg de sal dissolvido. A partir de t=0 entra salmoura a 2 L/min com concentração 0,10 kg/L e sai a mesma vazão de 2 L/min de mistura bem agitada.
Conteúdo: problemas de mistura, modelagem por EDO linear de primeira ordem. Vamos montar a equação diferencial para a quantidade de sal S(t).

Passo 2

A taxa de entrada de sal é a concentração da salmoura de entrada vezes a vazão de entrada:
\text{Entrada} = 0,10\;\mathrm{kg/L}\times 2\;\mathrm{L/min} = 0,20\;\mathrm{kg/min}.
A taxa de saída de sal é a concentração instantânea no tanque \bigl(S(t)/240\bigr) vezes a vazão de saída 2 L/min:
\text{Saída} = \frac{S(t)}{240}\;\mathrm{kg/L}\times 2\;\mathrm{L/min} = \frac{S(t)}{120}\;\mathrm{kg/min}.í

Passo 3

Montamos a equação diferencial da conservação de sal:
\frac{dS}{dt} = \text{Entrada} - \text{Saída}í
\frac{dS}{dt} = 0,20 - \frac{S}{120}.

Passo 4

Essa é uma EDO linear da forma
\frac{dS}{dt} + \frac{1}{120}\,S = 0,20.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\bigl(\!\int \tfrac{1}{120}\,dt\bigr) = e^{t/120}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) e integrando, vem
\frac{d}{dt}\bigl(S\,e^{t/120}\bigr) = 0,20\,e^{t/120} \quad\Longrightarrow\quad S\,e^{t/120} = 0,20\cdot 120\,e^{t/120} + C = 24\,e^{t/120} + C.
Assim
S(t) = 24 + C\,e^{-t/120}.

Passo 5

Usando a condição inicial S(0)=S_{0}, temos
S_{0} = 24 + C \quad\Longrightarrow\quad C = S_{0}-24.
Logo a solução geral é
S(t) = 24 + \bigl(S_{0}-24\bigr)\,e^{-t/120}.

Resposta

S(t) = 24 + \bigl(S_{0} - 24\bigr)\,e^{-t/120}\quad(\text{kg})

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