No instante
, um tanque contém
de sal disolvida em 100 gal de água. Suponha que água contendo
de sal por galão está entrando no tanque a uma taxa (velocidade) de
galões por minuto, e sai na mesma taxa.
a) Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solução salina.
b) Determinar a quantidade de sal
no tanque em função do tempo.
c) Achar a quantidade limite de sal
no tanque após um tempo suficientemente grande.
a) Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solução salina.
b) Determinar a quantidade de sal
c) Achar a quantidade limite de sal
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante de 100 galões em que entra solução com concentração de
lb/gal ao fluxo
gal/min e sai na mesma vazão. Inicialmente há
lb de sal dissolvidas. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos precisar montar o balanço de massa de sal, reconhecer a forma padrão
e usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Para cada instante, a taxa de variação do sal
é
entrada – saída.
A entrada é
entrada – saída.
A entrada é
a saída é concentração no tanque
(lb/gal) vezes vazão
, isto é
Logo o problema de valor inicial é
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão,
É uma EDO linear de coeficiente constante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 4
Integramos em
:
Logo
Usando
dá
portanto
Passo 5
Para tempo muito grande,
, de modo que
Resposta
(a)
(b)
(c) (lb).
(b)
(c)