d yd x=1e^4 y+2 x
[Dica: os papéis das variáveis independente e dependente podem ser invertidos.]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=1e^4y+2x. O conteúdo envolvido é EDOs de primeira ordem e a dica sugere inverter as variáveis, ou seja, tratar x como função de y.

Passo 2

Invertemos as variáveis calculando dxdy. Como dydx=1e^4y+2x, temos
dxdy=e^4y+2x

Passo 3

Essa é uma EDO linear em x(y). Colocando na forma padrão:
dxdy-2x=e^4y

Passo 4

O fator integrante é
mu(y)=e^integral(-2),dy=e^-2y

Passo 5

Multiplicando a equação por mu(y) obtemos
e^-2ydxdy-2e^-2yx=e^4ye^-2y=e^2y

Passo 6

O lado esquerdo é a derivada do produto x e^-2y. Logo:
ddyl(x e^-2yr)=e^2y

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a y:
x e^-2y=integral e^2y,dy=12e^2y+C

Passo 8

Por fim, isolamos x:
x=12e^4y+C e^2y

Resposta

x=12e^4y+C e^2y

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