nabla^2 phi=rhovarepsilon0
onde
varepsilon0 é a constante dielétrica no vácuo,
rho é a densidade de carga elétrica, e
phi é o potencial eletrostático. Uma vez conhecido
phi podemos calcular o campo elétrico
(E=-nabla phi) e consequentemente caracterizar completamente o sistema eletrostático. Se estamos interessados em determinar
phi em uma região do espaço onde não há carga elétrica a equação de Poisson se reduz a equação de Laplace
O objetivo deste exercício é estudar o potencial eletrostático no plano gerado por um fio circular de raio
a . Vamos supor que a metade superior do fio possui uma tensão constante de 10 V sendo ela isolada da metade inferior do fio mantida a uma tensão de -10 V . Assim, a condição de fronteira para este problema
phi(a, theta)=rlc 10, & se & 0
Como a condição de fronteira apresenta simetria radial é necessário escrever e resolver a equação de Laplace em coordenadas polares obtendo assim
phi(r, theta) .
(a) Em coordenadas cartesianas a equação de Laplace no plano tem a seguinte forma,
partial^2 phipartial x^2+partial^2 phipartial y^2=0
Mostre que em coordenadas polares
& x=r cos theta & y=r sin theta
a EDP (2) é reescrita como:
partial^2 phipartial r^2+1r partial phipartial r+1r^2 partial^2 phipartial theta^2=0
(b) Utilizando o método de separação de variáveis
phi(r, theta)=R(r) Theta(theta) mostre que a equação acima resulta no seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias,
r^2 partial^2 Rpartial r^2+r partial Rpartial r-lambda R & =0 partial^2 Thetapartial theta^2+lambda Theta & =0
onde
lambda é a constante de separação.
© Este problema de valor de contorno não é um problema homogêneo, porém
phi deve ser periódica de período
2 pi . Isto faz com que
Theta(theta)=Theta(theta+2 pi) . Mostre que esta condição de periodicidade faz com
lambda=n^2 com n=0,1,2, ldots
Sugestão: analise a solução de (4b) para
lambda positivo, negativo e zero e imponha a condição
Theta(theta)=
Theta(theta+2 pi) para cada um dos casos.
(d) Baseado nos resultados anteriores, mostre que a solução geral de (3) pode ser escrita como
phi(r, theta)=c0+b0 ln r+sumn=1^infty(cn r^n+bn r^-n)(kn cos (n theta)+qn sin (n theta))
(e) Determine o potencial eletrostático em uma região exterior ao fio circular
(r>a) . Sugestão: imponha que
lim r infty phi(r, theta)
isto eliminará parte das constantes em (5). Em seguida, determine o restante dos coeficientes através da condição de fronteira (1). O procedimento é análogo (mas não idêntico) ao apresentado na seção 10.8 do livro texto Boyce e DiPrima.