1. d^4 yd x^4-3 d^3 yd x^3+3 d^2 yd x^2-d yd x=0, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a ODE homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
d^4ydx^4 - 3d^3ydx^3 + 3d^2ydx^2 - dydx = 0
e as condições iniciais ,y(0)=0,;y'(0)=0.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo ,ysim e^rx:
r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0
Fatorando:
r,(r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = r,(r - 1)^3 = 0
As raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=1 (multiplicidade 3).

Passo 3

Pela teoria de raízes múltiplas, a solução geral é
y(x) = C1e^0cdot x ;+; C2e^x ;+; C3,x,e^x ;+; C4,x^2e^x = C1 + e^xl(C2 + C3x + C4x^2r)

Passo 4

Impondo y(0)=0:
y(0)=C1+C2=0 Longrightarrow C1=-C2
Agora calculamos y'(x). Como C1 é constante,
y'(x) = ddxl[e^x(C2+C3x+C4x^2)r] = e^x(C2+C3x+C4x^2) ;+; e^x(C3+2C4x) = e^xl[C2+C3 + (C3+2C4)x + C4x^2r]
Impondo y'(0)=0:
y'(0)=C2+C3=0 Longrightarrow C3=-C2
Sobram C2 e C4 livres.

Passo 5

Substituindo C1=-C2 e C3=-C2 em y(x):
y(x) = -C2 + e^xl(C2 - C2x + C4x^2r) = C2l(e^x(1 - x)-1r) ;+; C4,x^2e^x
Renomeando A=C2 e B=C4, obtemos a família de soluções que satisfaz as duas condições iniciais.

Resposta

y(x) = Al[e^x(1 - x)-1r] ;+; B,x^2e^x,
com A e B constantes arbitrárias.

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