d yd x=yx-1 para y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
dydx = yx - 1 com y(1) = 0
Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver. Não se preocupa, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar ela no formato padrão das equações lineares. A equação dada é:
dydx = yx - 1
Vamos rearranjar para ter todos os termos com $ y $ de um lado:
y
Agora, ela está no formato:
dydx - yx = -1
Onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -1 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Então, o fator integrante é $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
1x cdot dydx - 1x cdot yx = -1x
Simplificando:
1x dydx - yx^2 = -1x
Esse lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y $:
y
A integral da esquerda simplesmente remove a derivada:
integral ddx ( yx ) , dx = integral -1x , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Ou seja:
y = x(-ln x) + Cx

Passo 7

Usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar $ C $:
y(1) = 0
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então:
C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -x ln x

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