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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver. Não se preocupa, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar ela no formato padrão das equações lineares. A equação dada é:
Vamos rearranjar para ter todos os termos com $ y $ de um lado:
Agora, ela está no formato:
Onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = -1 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a solução. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Então, o fator integrante é $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Esse lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar $ y $:
A integral da esquerda simplesmente remove a derivada:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para $ y $:
Ou seja:
Passo 7
Usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar $ C $:
Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: