D1) Derivada da função constante
Passo 1
O enunciado dá a função constante
, com
sendo um número real fixo (a mesma constante para todo
). A pergunta implícita é: qual é a derivada dessa função em um ponto arbitrário
?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função vale
para todo : . -
é uma constante (não depende de ).
O objetivo é calcular a derivadapara um ponto genérico .
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada que usaremos (essa é a forma mais básica e robusta, ótima para prova): para uma função
a derivada em um ponto
é
quando esse limite existe. Explicando cada símbolo:
-
significa a derivada de no ponto (ou a inclinação da reta tangente ali). -
é um incremento pequeno em ; a expressão é o quociente diferencial (a inclinação da secante entre e ). - O limite
faz tender a , transformando a secante em tangente.
Importante: para avaliar esse limite podemos usar regras básicas de limites — por exemplo, o limite de uma função constante é essa constante.
Passo 3
Agora aplico a definição à função constante
. Primeiro calculo a diferença entre os valores:
Como
não depende de
nem de
, essa diferença é exatamente
.
Passo 4
Substituo essa diferença na expressão do quociente diferencial:
Aqui é preciso notar que, na definição do quociente, sempre consideramos
(pois estamos dividindo por
); para qualquer
o quociente
é igual a
.
Passo 5
Agora aplico o limite quando
. Como a expressão do quociente diferencial para todo
é a constante
, o limite é o limite de uma constante:
Regra usada: o limite de uma função constante é a própria constante.
Passo 6
Intuição geométrica e dica de prova/questão: graficamente,
é uma reta horizontal. A inclinação de qualquer reta horizontal é
(todas as secantes têm inclinação
e a tangente também). Na prova, sempre que ver uma função que é constante no enunciado, já pode anotar na margem: derivada é zero — isso economiza tempo. Outra abordagem (mais prática em prova) é lembrar a regra rápida: a derivada de uma constante é nula — essa regra pode ser usada sem refazer o limite, mas o fundamento é o argumento acima.