D1) Derivada da função constante
y=c \Rightarrow y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a função constante y=c, com c sendo um número real fixo (a mesma constante para todo x). A pergunta implícita é: qual é a derivada dessa função em um ponto arbitrário x?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vale c para todo x: f(x)=c.
  • c é uma constante (não depende de x).
    O objetivo é calcular a derivada f'(x) para um ponto genérico x.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada que usaremos (essa é a forma mais básica e robusta, ótima para prova): para uma função f a derivada em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe. Explicando cada símbolo:
  • f'(x) significa a derivada de f no ponto x (ou a inclinação da reta tangente ali).
  • h é um incremento pequeno em x; a expressão \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente diferencial (a inclinação da secante entre x e x+h).
  • O limite \lim_{h\to 0} faz h tender a 0, transformando a secante em tangente.
    Importante: para avaliar esse limite podemos usar regras básicas de limites — por exemplo, o limite de uma função constante é essa constante.

Passo 3

Agora aplico a definição à função constante f(x)=c. Primeiro calculo a diferença entre os valores:
f(x+h)-f(x)=c-c.
Como c não depende de x nem de h, essa diferença é exatamente 0.

Passo 4

Substituo essa diferença na expressão do quociente diferencial:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{h}.
Aqui é preciso notar que, na definição do quociente, sempre consideramos h\neq 0 (pois estamos dividindo por h); para qualquer h\neq 0 o quociente \tfrac{0}{h} é igual a 0.

Passo 5

Agora aplico o limite quando h\to 0. Como a expressão do quociente diferencial para todo h\neq 0 é a constante 0, o limite é o limite de uma constante:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}0=0.
Regra usada: o limite de uma função constante é a própria constante.

Passo 6

Intuição geométrica e dica de prova/questão: graficamente, y=c é uma reta horizontal. A inclinação de qualquer reta horizontal é 0 (todas as secantes têm inclinação 0 e a tangente também). Na prova, sempre que ver uma função que é constante no enunciado, já pode anotar na margem: derivada é zero — isso economiza tempo. Outra abordagem (mais prática em prova) é lembrar a regra rápida: a derivada de uma constante é nula — essa regra pode ser usada sem refazer o limite, mas o fundamento é o argumento acima.

Resposta

y'=0

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