Dada a aceleração vec{a}(t) de uma partícula, calcule a velocidade vec{v}(t) e o vetor posição vec{r}(t), supondo t \geq 0, \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} e vec{r}(0)=\overrightarrow{0}, para:
\vec{a}=12 \cos (2 t) \vec{i}-8 \operatorname{sen}(2 t) \vec{j}+16 t \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula
\vec{a}(t)=12\cos(2t)\,\vec{i}-8\sin(2t)\,\vec{j}+16\,t\,\vec{k},\quad t\ge0,
com as condições iniciais \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} e \vec{r}(0)=\overrightarrow{0}.
O que precisamos fazer é integrar \vec{a}(t) para obter \vec{v}(t) (velocidade) e depois integrar \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t) (posição), aplicando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos componente a componente para achar a forma geral de \vec{v}(t):
Para a componente i:
\int 12\cos(2t)\,dt = 6\sin(2t) + C_i.
Para a componente j:
\int -8\sin(2t)\,dt = 4\cos(2t) + C_j.
Para a componente k:
\int 16\,t\,dt = 8t^2 + C_k.
Logo, em forma vetorial, antes de usar as condições iniciais,
\vec{v}(t)=\bigl(6\sin(2t)+C_i\bigr)\,\vec{i}+\bigl(4\cos(2t)+C_j\bigr)\,\vec{j}+\bigl(8t^2+C_k\bigr)\,\vec{k}.

Passo 3

Aplicamos \vec{v}(0)=\overrightarrow{0}:
Em t=0 temos
6\sin(0)+C_i=0\implies C_i=0,\quad 4\cos(0)+C_j=0\implies 4+C_j=0\implies C_j=-4,\quad 8\cdot0^2+C_k=0\implies C_k=0.
Substituindo as constantes,
\vec{v}(t)=6\sin(2t)\,\vec{i}+\bigl(4\cos(2t)-4\bigr)\,\vec{j}+8t^2\,\vec{k}.

Passo 4

Agora integramos \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t) e usamos \vec{r}(0)=\overrightarrow{0}:
Componente i:
\int 6\sin(2t)\,dt = -3\cos(2t)+C'_i.
Componente j:
\int \bigl(4\cos(2t)-4\bigr)\,dt = 2\sin(2t)-4t + C'_j.
Componente k:
\int 8t^2\,dt = \tfrac{8}{3}t^3 + C'_k.
Em t=0 exigimos r_i(0)=r_j(0)=r_k(0)=0, o que dá
-3\cos(0)+C'_i=0\implies C'_i=3,\quad 0-0+C'_j=0\implies C'_j=0,\quad 0+C'_k=0\implies C'_k=0.
Portanto
\vec{r}(t)=\bigl(-3\cos(2t)+3\bigr)\,\vec{i}+\bigl(2\sin(2t)-4t\bigr)\,\vec{j}+\tfrac{8}{3}t^3\,\vec{k}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=6\sin(2t)\,\vec{i}+\bigl(4\cos(2t)-4\bigr)\,\vec{j}+8t^2\,\vec{k},
\displaystyle \vec{r}(t)=3\bigl(1-\cos(2t)\bigr)\,\vec{i}+\bigl(2\sin(2t)-4t\bigr)\,\vec{j}+\frac{8}{3}t^3\,\vec{k}.

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