Exercício 12. Considere a hélice dada por
\begin{aligned} & x=a \cos (t) \\\ & y=a \operatorname{sen}(t) \\\ & z=c t \end{aligned}
onde a>0.
a) Encontre a curvatura desta hélice usando a fórmula \kappa=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t) \times \vec{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}
b) Encontre a torção desta curva usando a seguinte fórmula para calcular o vetor binormal unitário: \vec{B}(t)=\frac{\overrightarrow{r^{\prime}}(t) \times \overrightarrow{r^{\prime \prime}}(t)}{\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t) \times \overrightarrow{r^{\prime \prime}}(t)\right\|}
c) Encontre a torção máxima e a torção mínima para um dado a.

Passo 1

O enunciado dá a hélice
\vec r(t)=\bigl(a\cos t,\;a\operatorname{sen} t,\;c\,t\bigr),\quad a>0,
e pede
(a) a curvatura \kappa(t) usando
\kappa=\frac{\|\vec r'(t)\times\vec r''(t)\|}{\|\vec r'(t)\|^3},
(b) a torção \tau(t), sabendo que o binormal unitário é
\vec B(t)=\frac{\vec r'(t)\times\vec r''(t)}{\|\vec r'(t)\times\vec r''(t)\|},
e (c) extremar \tau em função de c para a dado.

Passo 2

Calculemos as derivadas de \vec r:
\vec r'(t)=\bigl(-a\operatorname{sen} t,\;a\cos t,\;c\bigr),
\vec r''(t)=\bigl(-a\cos t,\;-a\operatorname{sen} t,\;0\bigr),
\vec r'''(t)=\bigl(a\operatorname{sen} t,\;-a\cos t,\;0\bigr).

Passo 3

Primeiro a curvatura.
  1. O módulo da velocidade é
\|\vec r'(t)\|=\sqrt{(-a\operatorname{sen} t)^2+(a\cos t)^2+c^2} =\sqrt{a^2+c^2}.
  1. O produto vetorial
\vec r'(t)\times\vec r''(t) =(a\,c\operatorname{sen} t,\;-a\,c\cos t,\;a^2),
cujo módulo é
\|\vec r'\times\vec r''\| =\sqrt{a^2c^2(\operatorname{sen}^2t+\cos^2t)+a^4} =a\sqrt{a^2+c^2}.
  1. Logo
\kappa =\frac{a\sqrt{a^2+c^2}}{\bigl(\sqrt{a^2+c^2}\bigr)^3} =\frac{a}{a^2+c^2}.

Passo 4

Agora a torção. Usamos a fórmula equivalente
\tau =\frac{\bigl(\vec r'\times\vec r''\bigr)\cdot\vec r'''}{\|\vec r'\times\vec r''\|^2}.
Já temos \vec r'\times\vec r'' e \vec r'''. Então
(\vec r'\times\vec r'')\cdot\vec r''' =a^2c(\operatorname{sen}^2t+\cos^2t)=a^2c,
\|\vec r'\times\vec r''\|^2 =\bigl(a\sqrt{a^2+c^2}\bigr)^2 =a^2\,(a^2+c^2).
Portanto
\tau =\frac{a^2c}{a^2(a^2+c^2)} =\frac{c}{a^2+c^2},
constante ao longo da hélice.

Passo 5

Para a fixo, considere \tau\text{(c)}=c/(a^2+c^2).
Derivando em c:
\tau'\text{(c)} =\frac{(a^2+c^2)-c\cdot2c}{(a^2+c^2)^2} =\frac{a^2-c^2}{(a^2+c^2)^2}.
Zerando dá c=a, que é ponto de máximo. Assim
\tau_{\max}=\frac{a}{a^2+a^2}=\frac{1}{2a}.
E \tau\text{(c)}\to0 quando c\to0 ou c\to\infty, de modo que o mínimo é zero em limite.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa=\frac{a}{a^2+c^2}.
(b) \displaystyle \tau=\frac{c}{a^2+c^2}.
(c) \displaystyle \tau_{\max}=\frac{1}{2a} em c=a, e \tau_{\min}=0 nos limites c\to0 ou c\to\infty.

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